Loi des grands nombres

Appliquer l’inégalité de concentration pour déterminer la taille d’un échantillon - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit une variable aléatoire XX d'espérance 0,50,5 et de variance 7,5.7,5.
Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn de la variable XX.
Déterminer la taille nn de l'échantillon tel que la probabilité que la moyenne MnM_n appartienne à l'intervalle [13;23]\left[\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right] soit supérieur à 0,95.0,95.

Correction
P(13≤Mn≤23)≥0,95P\left(\frac{1}{3}\le M_n\le \frac{2}{3}\right)\ge 0,95
P(13−12≤Mn−12≤23−12)≥0,95P\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\le M_n-\frac{1}{2}\le \frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\ge 0,95
P(−16≤Mn−12≤16)≥0,95P\left(-\frac{1}{6}\le M_n-\frac{1}{2}\le \frac{1}{6}\right)\ge 0,95
P(∣Mn−12∣≤16)≥0,95P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{6}\right)\ge 0,95
La somme de la probabilité d'un évènement AA et de la probabilité de son contraire est égale à 11.
Ainsi :
P(∣Mn−12∣≤16)+P(∣Mn−12∣≥16)=1P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{6}\right)+P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)=1
P(∣Mn−12∣≤16)=1−P(∣Mn−12∣≥16)P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{6}\right)=1-P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)
Ce qui donne :
1−P(∣Mn−12∣≥16)≥0,951-P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\ge 0,95
−P(∣Mn−12∣≥16)≥0,95−1-P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\ge 0,95-1
−P(∣Mn−12∣≥16)≥−0,05-P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\ge -0,05
P(∣Mn−12∣≥16)≤0,05P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\le 0,05
    L’ineˊgaliteˊ de concentration\red{\text{L'inégalité de concentration}}
Soit XX la variable aléatoire d'espérance E(X)E\left(X\right) et de variance V(X)V\left(X\right) .
Soit MnM_n la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX.
Pour tout réel strictement positif α\alpha , on a :
P(∣Mn−E(X)∣≥α)≤V(X)nα2P\left(\left|M_n-E\left(X\right)\right|\ge \alpha \right)\le \frac{V\left(X\right)}{n{\alpha }^2}
Si α=16\alpha =\frac{1}{6} et en utilisant l'inégalité de concentration, on a :
P(∣Mn−12∣≥16)≤7,5n×(16)2P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\le \frac{7,5}{n\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2}
Il faut donc ici que le majorant 7,5n×(16)2\frac{7,5}{n\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2} soit lui même inférieur au majorant 0,050,05 car nous souhaitons résoudre P(∣Mn−12∣≥16)≤0,05P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\le 0,05
Il vient donc que :
P(∣Mn−12∣≥16)≤7,5n×(16)2≤0,05P\left(\left|M_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{6}\right)\le \frac{7,5}{n\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2}\le 0,05
Il nous faut donc résoudre :
7,5n×(16)2≤0,05\frac{7,5}{n\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2}\le 0,05
7,5≤0,05×n×(16)27,5\le 0,05\times n\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2
7,50,05×(16)2≤n\frac{7,5}{0,05\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2}\le n
Ainsi : 5400≤n5400\le n
Si l'échantillon dépasse une taille de 54005400 alors la probabilité que la moyenne MnM_n appartienne à l'intervalle [13;23]\left[\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right] sera supérieur à 0,950,95 .