Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Markov - Exercice 2

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Question 1

Durant une saison NBA, Michael Jordan marque en moyenne 3232 points par match . On note XX la variable aléatoire associant le nombre de point marqué par match .
Quelle est la probabilité pour que Michael Jordan marque plus de 5050 points sur un match ?

Correction
    L’ineˊgaliteˊ de Markov\red{\text{L'inégalité de Markov}}
  • Soit XX une variable aléatoire à valeurs positives et soit aa un nombre réel strictement positif. On a alors : P(X≥a)≤E(X)aP\left(X\ge a\right)\le \frac{E\left(X\right)}{a}
    • Dans l'énoncé, la variable XX est positive et on pose E(X)=32E\left(X\right)=32 . ( On assimile l'espérance à la moyenne ) .
    D'après l'inégalité de Markov, on peut écrire que :
    P(X≥50)≤3250P\left(X\ge 50\right)\le \frac{32}{50}
    Ainsi :
    P(X≥50)≤0,64P\left(X\ge 50\right)\le 0,64

    Cela signifie que Mickael Jordan a au plus 6464 chances sur 100100 de dépasser les 5050 points sur un match .
    Question 2

    Adam est agent immobilier et réussit , en moyenne, 88 ventes par mois. On note XX la variable aléatoire donnant le nombre de ventes produites mensuellement.
    Que peut-on dire de la probabilité qu'Adam réussise plus de 1212 ventes par mois ?

    Correction
      L’ineˊgaliteˊ de Markov\red{\text{L'inégalité de Markov}}
  • Soit XX une variable aléatoire à valeurs positives et soit aa un nombre réel strictement positif. On a alors : P(X≥a)≤E(X)aP\left(X\ge a\right)\le \frac{E\left(X\right)}{a}
    • Dans l'énoncé, la variable XX est positive car XX donne le nombre de ventes produites mensuellement.
    On pose E(X)=32E\left(X\right)=32 . ( On assimile l'espérance à la moyenne ) .
    D'après l'inégalité de Markov, on peut écrire que :
    P(X≥12)≤812P\left(X\ge 12\right)\le \frac{8}{12}
    P(X≥12)≤23P\left(X\ge 12\right)\le \frac{2}{3}