Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Markov - Exercice 1

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Appliquer l’inégalité de Markov avec les valeurs de l’énoncé.
On suppose que XX est une variable aléatoire positive dans chacun des cas.
Question 1

P(X≥a)P\left(X\ge a\right) où a=10a=10 et E(X)=7E\left(X\right)=7

Correction
    L’ineˊgaliteˊ de Markov\red{\text{L'inégalité de Markov}}
  • Soit XX une variable aléatoire à valeurs positives et soit aa un nombre réel strictement positif. On a alors : P(X≥a)≤E(X)aP\left(X\ge a\right)\le \frac{E\left(X\right)}{a}
    • Dans l'énoncé, la variable aléatoire XX est positive.
    Nous savons que E(X)=7E\left(X\right)=7 .
    D'après l'inégalité de Markov, on peut écrire que :
    P(X≥10)≤710P\left(X\ge 10\right)\le \frac{7}{10}
    P(X≥10)≤710P\left(X\ge 10\right)\le \frac{7}{10}
    Question 2

    P(X≥a)P\left(X\ge a\right) où a=75a=75 et E(X)=30E\left(X\right)=30

    Correction
      L’ineˊgaliteˊ de Markov\red{\text{L'inégalité de Markov}}
  • Soit XX une variable aléatoire à valeurs positives et soit aa un nombre réel strictement positif. On a alors : P(X≥a)≤E(X)aP\left(X\ge a\right)\le \frac{E\left(X\right)}{a}
    • Dans l'énoncé, la variable aléatoire XX est positive.
    Nous savons que E(X)=30E\left(X\right)=30 .
    D'après l'inégalité de Markov, on peut écrire que :
    P(X≥75)≤3075P\left(X\ge 75\right)\le \frac{30}{75}
    P(X≥75)≤25P\left(X\ge 75\right)\le \frac{2}{5}