Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 2

5 min
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On note XX la variable aléatoire associant le nombre de point marqué par match .Durant une saison NBA, Michael Jordan marque en moyenne 3232 points par match et nous avons la variance V(X)=10V\left(X\right)=10 .
Question 1

Donner une majoration de P(∣X−32∣≥18)P\left(\left|X-32\right|\ge 18\right) . Traduire ce résultat dans les termes de l'énoncé.

Correction
D'après l'énoncé, on peut noter que E(X)=32{\color{blue}{E\left(X\right)=32}} et V(X)=10{\color{red}{V\left(X\right)=10}} .
    L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }
    • A l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut écrire que :
    P(∣X−32∣≥18)≤10182P\left(\left|X-{\color{blue}{32}}\right|\ge {\color{green}{18}}\right)\le \frac{{\color{red}{10}}}{{\color{green}{18}}^{2} }
    D'où :
    P(∣X−32∣≥18)≤5162P\left(\left|X-32\right|\ge 18\right)\le \frac{5}{162}
    tel que 5162≈0,03\frac{5}{162}\approx0,03 à 10−210^{-2} près .
    On rappelle que :
    ∣X−32∣≥18⇔(X−32≥18  ou  X−32≤−18)\left|X-32\right|\ge 18\Leftrightarrow \left(X-32\ge 18 \;\text{ou}\; X-32\le -18\right)
    ∣X−32∣≥18⇔(X≥50  ou  X≤14)\left|X-32\right|\ge 18\Leftrightarrow \left(X\ge 50\;\text{ou}\;X\le 14\right)
    Nous allons donc donner l'interprétation de
    P(∣X−32∣≥18)≤5162P\left(\left|X-32\right|\ge 18\right)\le \frac{5}{162}

    Ainsi la probabilité que Michael Jordan marque moins de 1414 points ou marque plus de 5050 points sur un match est inférieur à 3%3\% .