Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(70;0,4)\mathscr{B}\left(70;0,4\right). Donner une majoration de P(∣X−28∣≥30)P\left(\left|X-28\right|\ge 30\right) .

Correction
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Ainsi :
    E(X)=70×0,4E\left(X\right)=70\times 0,4 donc
    E(X)=28E\left(X\right)=28

    V(X)=70×0,4×(1−0,4)V\left(X\right)=70\times 0,4\times \left(1-0,4\right) d'où :
    V(X)=16,8V\left(X\right)=16,8

    On peut noter que E(X)=28{\color{blue}{E\left(X\right)=28}} et V(X)=16,8{\color{red}{V\left(X\right)=16,8}} .
      L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }
    • A l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut écrire que :
    P(∣X−28∣≥30)≤16,8302P\left(\left|X-{\color{blue}{28}}\right|\ge {\color{green}{30}}\right)\le \frac{{\color{red}{16,8}}}{{\color{green}{30}}^{2} }
    D'où :
    P(∣X−28∣≥30)≤7375P\left(\left|X-28\right|\ge 30\right)\le \frac{7}{375}
    tel que 7375≈0,02\frac{7}{375}\approx0,02 à 10−210^{-2} près .
    La probabilité que l’écart de XX à E(X)E\left(X\right) soit supérieur à 3030 est majorée par 7375\frac{7}{375} .