Amérique du Nord Sujet 1 - 20 mai 2026 - Exercice 1

On sait que : $$E(Z)=9 \quad \text { et } \quad V(Z)=4 .$$
Dire que le prix de l'abonnement est strictement compris entre $$6$$ et $$12$$ euros revient à dire que : $$6<Z<12$$
Ecrivons cette inégalité $$6<Z<12$$ à l'aide d'une valeur absolue.
Il va être important ici de déterminer la valeur de $$a$$ et de $$r$$ .
$${\color{red}a}$$ correspond au centre de l'intervalle en question c'est à dire le centre de l'intervalle $$\left]6;12\right[$$ .
$$\red{\text{Première étape :}}$$ Calcul du centre $${\color{red}a}$$

$$\red{\text{Deuxième étape :}}$$ Calcul de $${\color{blue}r}$$ qui correspond au rayon de l'intervalle $$\left]6;12\right[$$
Pour cela nous allons calculer la distance entre $$6$$ et $$12$$ et ensuite on divisera le résultat par $$2$$ . Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle $$\left]6;12\right[$$ .
La distance entre $$6$$ et $$12$$ vaut :
$$\left|6-12\right|=\left|-6\right|=6$$
Finalement, la distance entre $$6$$ et $$12$$ vaut $$6$$.
Le rayon $${\color{blue}r}$$ de l'intervalle $$\left]6;12\right[$$ est alors $${\color{blue}r}=\frac{6}{2}$$ c'est à dire
Ainsi : $$6<Z<12 \Longleftrightarrow|Z-9|<3$$.
L'évènement contraire de $$|Z-9|<3$$ est $$|Z-9| \geqslant 3$$ .
On peut également écrire, par passage à l’événement contraire, que : $$P(|Z-9|<3)=1-P(|Z-9| \geqslant 3)$$
Nous allons pouvoir calculer $$P(|Z-9| \geqslant 3)$$ à l'aide de l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
On obtient :
$$\begin{aligned} & P(|Z-9| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{3^2} \\ & P(|Z-9| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{9}\end{aligned}$$
Or :
$$P(|Z-9|<3)=1-P(|Z-9| \geqslant 3)$$
On peut donc écrire que :
$$P(|Z-9| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{9}$$
$$-P(|Z-9| \geqslant 3) \red{\geqslant} -\frac{4}{9}$$ . Ici, nous avons multiplié de part et d'autres des inégalités par $$-1$$ et donc on change le sens de l'inégalité.
$$1-P(|Z-9| \geqslant 3) \geqslant 1-\frac{4}{9}$$. Ici on rajoute $$1$$ de part et d'autres des inégalités.
Finalement :
et comme $$\frac{5}{9} \approx 0,556>0,50$$.
Il en résulte donc que :
L'affirmation du responsable est donc totalement justifiée.
Il y a bien au moins $$50 \%$$ de chances que le prix soit strictement compris entre $$6$$ et $$12$$ euros.