Amérique du Nord Sujet 1 - 20 mai 2026 - Exercice 1

15 min
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Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note ZZ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.
On admet que l'espérance de la variable aléatoire ZZ vaut 99 et son écart-type 22 .
Question 1

Un responsable affirme que si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins 50%50 \% de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 66 et 1212 euros.
Justifier cette affirmation.

Correction
On sait que : E(Z)=9 et V(Z)=4.E(Z)=9 \quad \text { et } \quad V(Z)=4 .
Dire que le prix de l'abonnement est strictement compris entre 66 et 1212 euros revient à dire que : 6<Z<126<Z<12
Ecrivons cette inégalité 6<Z<126<Z<12 à l'aide d'une valeur absolue.
Pour tous nombres réels aa et rr , avec rr un réel positif alors :
  • ∣x−a∣<r\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r} est équivalent à x∈]a−r;a+r[x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[
Il va être important ici de déterminer la valeur de aa et de rr .
a{\color{red}a} correspond au centre de l'intervalle en question c'est à dire le centre de l'intervalle ]6;12[\left]6;12\right[ .
Premieˋre eˊtape :\red{\text{Première étape :}} Calcul du centre a{\color{red}a}
a=6+122=9{\color{red}a}=\frac{6+12}{2}=9

Deuxieˋme eˊtape :\red{\text{Deuxième étape :}} Calcul de r{\color{blue}r} qui correspond au rayon de l'intervalle ]6;12[\left]6;12\right[
Pour cela nous allons calculer la distance entre 66 et 1212 et ensuite on divisera le résultat par 22 . Nous obtiendrons ainsi le rayon de l'intervalle ]6;12[\left]6;12\right[ .
  • La distance entre deux nombres réels aa et bb est égale à ∣a−b∣\left|a-b\right|
  • La distance entre deux nombres réels bb et aa est égale à ∣b−a∣\left|b-a\right|
Ainsi la distance entre aa et bb et la même qu'entre bb et aa.
La distance entre 66 et 1212 vaut :
∣6−12∣=∣−6∣=6\left|6-12\right|=\left|-6\right|=6
Finalement, la distance entre 66 et 1212 vaut 66.
Le rayon r{\color{blue}r} de l'intervalle ]6;12[\left]6;12\right[ est alors r=62{\color{blue}r}=\frac{6}{2} c'est à dire
r=3{\color{blue}r}=3

Ainsi : 6<Z<12⟺∣Z−9∣<36<Z<12 \Longleftrightarrow|Z-9|<3.
L'évènement contraire de ∣Z−9∣<3|Z-9|<3 est ∣Z−9∣⩾3|Z-9| \geqslant 3 .
On peut également écrire, par passage à l’événement contraire, que : P(∣Z−9∣<3)=1−P(∣Z−9∣⩾3)P(|Z-9|<3)=1-P(|Z-9| \geqslant 3)
Nous allons pouvoir calculer P(∣Z−9∣⩾3)P(|Z-9| \geqslant 3) à l'aide de l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
    L’ineˊgaliteˊ de Bienaymeˊ-Tchebychev\red{\text{L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}}
  • Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X){\color{blue}{E\left(X\right)}} et de variance V(X){\color{red}{V\left(X\right)}} et soit a{\color{green}{a}} un nombre réel strictement positif. On a alors : P(∣X−E(X)∣≥a)≤V(X)a2P\left(\left|X-{\color{blue}{E\left(X\right)}}\right|\ge {\color{green}{a}}\right)\le \frac{{\color{red}{V\left(X\right)}}}{{\color{green}{a}}^{2} }
    • On obtient :
    P(∣Z−9∣⩾3)⩽432P(∣Z−9∣⩾3)⩽49\begin{aligned} & P(|Z-9| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{3^2} \\ & P(|Z-9| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{9}\end{aligned}
    Or :
    P(∣Z−9∣<3)=1−P(∣Z−9∣⩾3)P(|Z-9|<3)=1-P(|Z-9| \geqslant 3)
    On peut donc écrire que :
    P(∣Z−9∣⩾3)⩽49P(|Z-9| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{9}
    −P(∣Z−9∣⩾3)⩾−49-P(|Z-9| \geqslant 3) \red{\geqslant} -\frac{4}{9} . Ici, nous avons multiplié de part et d'autres des inégalités par −1-1 et donc on change le sens de l'inégalité.
    1−P(∣Z−9∣⩾3)⩾1−491-P(|Z-9| \geqslant 3) \geqslant 1-\frac{4}{9}. Ici on rajoute 11 de part et d'autres des inégalités.
    Finalement :
    P(∣Z−9∣<3)⩾59P(|Z-9| < 3) \geqslant \frac{5}{9}
    et comme 59≈0,556>0,50\frac{5}{9} \approx 0,556>0,50.
    Il en résulte donc que :
    P(6<Z<12)⩾59>50%P(6<Z<12) \geqslant \frac{5}{9}>50 \%

    L'affirmation du responsable est donc totalement justifiée.
    Il y a bien au moins 50%50 \% de chances que le prix soit strictement compris entre 66 et 1212 euros.

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