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Limites de fonctions
Théorème des gendarmes - Exercice 1
3 min
5
Question 1
Pour tout réel
x
x
x
non nul, on définit la fonction
f
f
f
à l'aide de l'encadrement suivant :
7
x
+
5
≤
f
(
x
)
≤
9
x
+
5
\frac{7}{x} +5\le f\left(x\right) \le \frac{9}{x} +5
x
7
+
5
≤
f
(
x
)
≤
x
9
+
5
. Déterminer
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
.
Correction
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps :
\text{\blue{Dans un premier temps :}}
Dans un premier temps :
lim
x
→
+
∞
7
=
7
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 7 } & {=} & {7} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
7
x
→
+
∞
lim
x
=
=
7
+
∞
}
par quotient :
\text{\red{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
+
∞
7
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{7}{x}=0
x
→
+
∞
lim
x
7
=
0
Ainsi :
lim
x
→
+
∞
7
x
+
5
=
5
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{7}{x}+5=5
x
→
+
∞
lim
x
7
+
5
=
5
Dans un second temps :
\text{\blue{Dans un second temps :}}
Dans un second temps :
lim
x
→
+
∞
9
=
9
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 9 } & {=} & {9} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
9
x
→
+
∞
lim
x
=
=
9
+
∞
}
par quotient :
\text{\red{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
+
∞
9
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{9}{x}=0
x
→
+
∞
lim
x
9
=
0
Ainsi :
lim
x
→
+
∞
9
x
+
5
=
5
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{9}{x}+5=5
x
→
+
∞
lim
x
9
+
5
=
5
Nous savons que :
7
x
+
5
≤
f
(
x
)
≤
9
x
+
5
\frac{7}{x} +5\le f\left(x\right) \le \frac{9}{x} +5
x
7
+
5
≤
f
(
x
)
≤
x
9
+
5
D'après le théorème des gendarmes :
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
5
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =5
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
5