Théorème des gendarmes - Exercice 1

3 min

Question 1

Pour tout réel $x$ non nul, on définit la fonction $f$ à l'aide de l'encadrement suivant : $\frac{7}{x} +5\le f\left(x\right) \le \frac{9}{x} +5$ . Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)$ .

Correction

Si on rencontre une forme

\frac{\text{Nombre}}{\infty }

alors la limite sera égale à zéro.

\text{\blue{Dans un premier temps :}}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 7 } & {=} & {7} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient :}}

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{7}{x}=0

Ainsi :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{7}{x}+5=5

\text{\blue{Dans un second temps :}}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 9 } & {=} & {9} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient :}}

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{9}{x}=0

Ainsi :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{9}{x}+5=5

Nous savons que :

\frac{7}{x} +5\le f\left(x\right) \le \frac{9}{x} +5

D'après le théorème des gendarmes :

\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =5

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