Limites de fonctions

Lire des limites à l'aide d'une représentation graphique - Exercice 1

3 min
5
Question 1
Soit ff une fonction définie sur ]−∞;−3[∪]−3;4[∪]4;+∞[\left]-\infty ;-3\right[\cup \left]-3;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[ et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative. Les droites d1d_{1}, d2d_{2} et d3d_{3} sont des asymptotes à Cf\mathscr{C_f}.

Par lecture graphique, conjecturer les limites de la fonction ff.

Correction
Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
D'après la représentation graphique, on lit :
lim⁡x→−∞f(x)=2\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =2 et lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =2
Comme lim⁡x→−∞f(x)=2\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =2 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=2y=2
Comme lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =2 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=2y=2
Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Ainsi :
lim⁡x→−3−f(x)=+∞\lim\limits_{x\to -3^{-} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=−3x=-3
lim⁡x→−3+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to -3^{+} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=−3x=-3
lim⁡x→4−f(x)=−∞\lim\limits_{x\to 4^{-} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=4x=4
lim⁡x→4+f(x)=+∞\lim\limits_{x\to 4^{+} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=4x=4