Limites et fonctions composées - Exercice 2

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }49+\frac{9}{x}$$. Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } 16+\frac{9}{x} ={\color{blue}49}$$
On pose $$X=49+\frac{9}{x}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}49}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}49}} \sqrt{X }=\sqrt{49}={\color{green}7}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}}\frac{6x+5}{3x+2}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{6x+5}{3x+2}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6x+5}{3x+2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{6x+5}{x} \right)}{x\left(\frac{3x+2}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6x+5}{3x+2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{6x}{x} +\frac{5}{x} \right)}{x\left(\frac{3x}{x} +\frac{2}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6x+5}{3x+2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(6+\frac{5}{x} \right)}{x\left(3+\frac{2}{x} \right)}$$ . On simplifie par $$x$$ le numérateur et le dénominateur .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6x+5}{3x+2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6+\frac{5}{x} }{3+\frac{2}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 6+\frac{5}{x} } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3+\frac{2}{x} } & {=} & {3} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{6+\frac{5}{x} }{3+\frac{5}{x} }=\frac{6}{3}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{6x+5}{3x+2} ={\color{blue}2}$$
On pose $$X=\frac{6x+5}{3x+2}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}2}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}2}} \sqrt{X }={\color{green}\sqrt{2}}$$
Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{5}{2x+1}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{5}{2x+1}={\color{blue}0}$$

On pose $$X=\frac{5}{2x+1}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0}$$.

Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} \sin{X }=\sin{0}={\color{green}0}$$

Par composition :

$$\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x-7}{6x+4}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x-7}{6x+4}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2\pi x-7}{6x+4} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2\pi x-7}{x} \right)}{x\left(\frac{6x+4}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2\pi x-7}{6x+4} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2\pi x}{x} -\frac{7}{x} \right)}{x\left(\frac{6x}{x} +\frac{4}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2\pi x-7}{6x+4} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(2\pi -\frac{7}{x} \right)}{x\left(6+\frac{4}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2\pi x-7}{6x+4} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2\pi-\frac{7}{x} }{6+\frac{4}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2\pi-\frac{7}{x} } & {=} & {2\pi} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 6+\frac{4}{x} } & {=} & {6} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2\pi-\frac{7}{x} }{6+\frac{4}{x} }=\frac{2\pi}{6}$$
Donc : $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }\frac{2\pi x-7}{6x+4} ={\color{blue}\frac{\pi}{3}}$$
On pose $$X=\frac{2\pi x-7}{6x+4}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}\frac{\pi}{3}}$$.
Or : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}\frac{\pi}{3}}} \cos{X }=\cos{\frac{\pi}{3} }={\color{green}\frac{1}{2}}$$
Par composition :