Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 1

25 min
45
Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞2x+3ex−5\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞2x=+∞lim⁡x→+∞3ex−5=+∞}par addition :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par addition :}}}
lim⁡x→+∞2x+3ex−5=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞(2x+3)(5−2ex)\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞2x+3=+∞lim⁡x→+∞5−2ex=−∞}par produit :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-2e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}
lim⁡x→+∞(2x+3)(5−2ex)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)=-\infty
Question 3

lim⁡x→−∞x2−ex+2\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞−ex+2=2}par somme :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\red{\text{par somme :}}}
lim⁡x→−∞x2−ex+2=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2=+\infty
Question 4

lim⁡x→+∞−e2x+2ex−3\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞−e2x=−∞lim⁡x→+∞2ex−3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} -3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser l’expression par \blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }} ex\blue{e^{x}}
Cela donne :
lim⁡x→+∞−e2x+2ex−3=lim⁡x→+∞ex(−e2x+2ex−3ex)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} +2e^{x} -3}{e^{x} } \right)
lim⁡x→+∞−e2x+2ex−3=lim⁡x→+∞ex(−e2xex+2exex+−3ex)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} }{e^{x} } +\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{-3}{e^{x} } \right)
lim⁡x→+∞−e2x+2ex−3=lim⁡x→+∞ex(−ex+2−3ex)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } \right)
On rappelle que lim⁡x→+∞3ex=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } =0.
lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→+∞−ex+2−3ex=−∞}par produit :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}
lim⁡x→+∞−e2x+2ex−3=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=-\infty
Question 5

lim⁡x→−∞−ex+22ex+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→−∞−ex+2=2lim⁡x→−∞2ex+1=1}par quotient\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}
lim⁡x→−∞−ex+22ex+1=2\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =2

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=2y=2 au voisinage de −∞-\infty.
Question 6

lim⁡x→+∞−ex+22ex+1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}

Correction
lim⁡x→+∞−ex+2=−∞lim⁡x→+∞2ex+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser le numeˊrateur et au deˊnominateur par \blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser le numérateur et au dénominateur par }} ex\blue{e^{x}}
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞−ex+22ex+1=lim⁡x→+∞ex(−ex+2ex)ex(2ex+1ex)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} +2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} +1}{e^{x} } \right)}
lim⁡x→+∞−ex+22ex+1=lim⁡x→+∞ex(−exex+2ex)ex(2exex+1ex)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} }{e^{x} } +\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{1}{e^{x} } \right)}
lim⁡x→+∞−ex+22ex+1=lim⁡x→+∞ex(−1+2ex)ex(2+1ex)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(-1+\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(2+\frac{1}{e^{x} } \right)}
lim⁡x→+∞−ex+22ex+1=lim⁡x→+∞−1+2ex2+1ex\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } } .
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞−1+2ex=−1lim⁡x→+∞2+1ex=2}par quotientlim⁡x→+∞−1+2ex2+1ex=−12\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{2}{e^{x} } } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{e^{x} } } & {=} & {2} \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } } =-\frac{1}{2}
Finalement :{\purple{\text{Finalement :}}}
lim⁡x→+∞−ex+22ex+1=−12\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =-\frac{1}{2}

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=−12y=-\frac{1}{2} au voisinage de +∞+\infty.
Question 7

lim⁡x→+∞−x+2ex\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x}

Correction
    Croissance compareˊe\red{\text{Croissance comparée}}
  • lim⁡x→+∞exx=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x } =+\infty
    • lim⁡x→+∞−x=−∞lim⁡x→+∞2ex=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
    Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser l’expression par \blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }} x\blue{x}
    Cela donne :
    lim⁡x→+∞−x+2ex=lim⁡x→+∞x(−x+2exx){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} -x+2e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{-x+2e^{x} }{x} \right)
    lim⁡x→+∞−x+2ex=lim⁡x→+∞x(−xx+2exx){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} -x+2e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{-x}{x} +\frac{2e^{x} }{x} \right)
    lim⁡x→+∞−x+2ex=lim⁡x→+∞x(−1+2×exx){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} -x+2e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(-1+2\times\frac{e^{x} }{x} \right)
    On a alors :
    lim⁡x→+∞x=+∞lim⁡x→+∞−1+2×exx=+∞}par produit :lim⁡x→+∞x(−1+2×exx)=+∞.\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+2\times\frac{e^{x} }{x}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(-1+2\times\frac{e^{x} }{x} \right)=+\infty .
    Finalement :{\purple{\text{Finalement :}}}
    lim⁡x→+∞−x+2ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2e^{x} =+\infty
    Question 8

    lim⁡x→0ex−13x\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x} -1}{3x}

    Correction
    • lim⁡x→0ex−1x=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x} -1}{x} =1
    lim⁡x→0ex−13x=lim⁡x→013(ex−1x)=13.\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{x} -1}{3x} =\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{3}\left(\frac{e^{x} -1}{x}\right)=\frac{1}{3} .
    Question 9

    lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5

    Correction
    lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5=lim⁡x→+∞−2x+3ex−5\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+\frac{3}{e^{x} } -5
    lim⁡x→+∞−2x=−∞lim⁡x→+∞3ex−5=−5}par somme :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\}{\red{\text{par somme :}}}
    lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=-\infty
    Question 10

    lim⁡x→−∞ex(x−2)\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right)

    Correction
    lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→−∞x−2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x-2 } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
      Croissance compareˊe\red{\text{Croissance comparée}}
  • lim⁡x→−∞xex=0\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x} =0
    • Nous allons développer l'expression :
    lim⁡x→−∞ex(x−2)=lim⁡x→−∞xex−2ex\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) =\lim\limits_{x\to -\infty }xe^{x} -2e^{x}
    lim⁡x→−∞xex=0lim⁡x→−∞−2ex=0}par somme :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\red{\text{par somme :}}}
    lim⁡x→−∞xex−2ex=0\lim\limits_{x\to -\infty }xe^{x} -2e^{x} =0

    Finalement :{\purple{\text{Finalement :}}}
    lim⁡x→−∞ex(x−2)=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) =0
    Question 11

    lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2}

    Correction
    lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2=lim⁡x→+∞31ex−52ex+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}
    lim⁡x→+∞31ex−5=−5lim⁡x→+∞2ex+2=+∞}par quotient :\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}
    lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =0

    Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 au voisinage de +∞+\infty.
    Question 12

    lim⁡x→+∞3x−ex+1\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1

    Correction
      Croissance compareˊe\red{\text{Croissance comparée}}
  • lim⁡x→+∞exx=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x } =+\infty
    • lim⁡x→+∞3x+1=+∞lim⁡x→+∞−ex=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
    Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser l’expression par \blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }} x\blue{x}
    Cela donne :
    lim⁡x→+∞3x−ex+1=lim⁡x→+∞x(3x−ex+1x){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x-e^{x} +1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{3x-e^{x} +1}{x} \right)
    lim⁡x→+∞3x−ex+1=lim⁡x→+∞x(3xx−exx+1x){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x-e^{x} +1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{3x}{x} -\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x} \right)
    lim⁡x→+∞3x−ex+1=lim⁡x→+∞x(3−exx+1x){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x-e^{x} +1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(3-\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x} \right)
    On a alors :
    lim⁡x→+∞x=+∞lim⁡x→+∞3−exx+1x=−∞}par produit :lim⁡x→+∞x(3−exx+1x)=−∞.\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(3-\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x} \right)=-\infty .
    Finalement :{\purple{\text{Finalement :}}}
    lim⁡x→+∞3x−ex+1=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-e^{x}+1 =-\infty

    Question 13

    lim⁡x→+∞4x2+3x−ex+5{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 4x^{2}+3x-e^{x}+5

    Correction
      Croissance compareˊe\red{\text{Croissance comparée}}
  • lim⁡x→+∞exx2=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x^{2} } =+\infty
    • lim⁡x→+∞4x2+3x+5=+∞lim⁡x→+∞−ex=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+3x+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} On rencontre ici une forme indéterminée.
    Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser l’expression par \blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }} x2\blue{x^{2}}
    Cela donne :
    lim⁡x→+∞4x2+3x−ex+5=lim⁡x→+∞x2(4x2+3x−ex+5x2){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 4x^{2}+3x-e^{x}+5={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{2}\left(\frac{4x^{2}+3x-e^{x}+5}{x^{2}} \right)
    lim⁡x→+∞4x2+3x−ex+5=lim⁡x→+∞x2(4x2x2+3xx2−exx2+5x2){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 4x^{2}+3x-e^{x}+5={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{2}\left(\frac{4x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}-\frac{e^{x}}{x^{2}}+\frac{5}{x^{2}} \right)
    lim⁡x→+∞4x2+3x−ex+5=lim⁡x→+∞x2(4+3x−exx2+5x2){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 4x^{2}+3x-e^{x}+5={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{2}\left(4+\frac{3}{x}-\frac{e^{x}}{x^{2}}+\frac{5}{x^{2}} \right)
    On a alors :
    lim⁡x→+∞x2=+∞lim⁡x→+∞4+3x−exx2+5x2=−∞}par produit :lim⁡x→+∞x2(4+3x−exx2+5x2)=−∞.\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\dfrac{3}{x}-\dfrac{e^{x}}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{2}}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}\left(4+\frac{3}{x}-\frac{e^{x}}{x^{2}}+\frac{5}{x^{2}} \right)=-\infty .
    Finalement :{\purple{\text{Finalement :}}}
    lim⁡x→+∞4x2+3x−ex+5=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+3x-e^{x}+5=-\infty

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