Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par addition :}}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} -3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }}$$ $$\blue{e^{x}}$$
Cela donne :
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} +2e^{x} -3}{e^{x} } \right)$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(\frac{-e^{2x} }{e^{x} } +\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{-3}{e^{x} } \right)$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -e^{2x} +2e^{x} -3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } e^{x} \left(-e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } \right)$$
On rappelle que $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } =0$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2-\frac{3}{e^{x} } } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$ au voisinage de $$-\infty$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} +2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser le numérateur et au dénominateur par }}$$ $$\blue{e^{x}}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} +2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} +1}{e^{x} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(\frac{-e^{x} }{e^{x} } +\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(\frac{2e^{x} }{e^{x} } +\frac{1}{e^{x} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} \left(-1+\frac{2}{e^{x} } \right)}{e^{x} \left(2+\frac{1}{e^{x} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } }$$ .
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{2}{e^{x} } } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{e^{x} } } & {=} & {2} \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+\frac{2}{e^{x} } }{2+\frac{1}{e^{x} } } =-\frac{1}{2}$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=-\frac{1}{2}$$ au voisinage de $$+\infty$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }}$$ $$\blue{x}$$
Cela donne :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} -x+2e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{-x+2e^{x} }{x} \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} -x+2e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{-x}{x} +\frac{2e^{x} }{x} \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} -x+2e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(-1+2\times\frac{e^{x} }{x} \right)$$
On a alors :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+2\times\frac{e^{x} }{x}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(-1+2\times\frac{e^{x} }{x} \right)=+\infty .$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty }e^{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x-2 } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée. Nous allons développer l'expression :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}\left(x -2\right) =\lim\limits_{x\to -\infty }xe^{x} -2e^{x}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } xe^{x}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\red{\text{par somme :}}}$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$

$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$ au voisinage de $$+\infty$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser l'expression par }}$$ $$\blue{x}$$
Cela donne :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x-e^{x} +1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{3x-e^{x} +1}{x} \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x-e^{x} +1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(\frac{3x}{x} -\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x} \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x-e^{x} +1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x\left(3-\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x} \right)$$
On a alors :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit :}}}\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(3-\frac{e^{x} }{x} +\frac{1}{x} \right)=-\infty .$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$