Lever une forme indéterminée de la forme $$\frac{0}{0}$$ - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} x-2} & {=} & {0 } \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} x^{2}-4} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{0 }{0}$$
Dans ce genre de situation, il faut penser à factoriser soit le numérateur soit le dénominateur .
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{x-2}{x^{2} -4} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{x-2}{x^{2} -2^{2} }$$ . On reconnait ici une identité remarquable.
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{x-2}{x^{2} -4}={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{x-2}{x^{2} -4} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{\left(x-2\right)}\left(x+2\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{x-2}{x^{2} -4} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} \frac{1}{x+2}$$
Ainsi :

$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} 2x^{2} -3x} & {=} & {0 } \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} 5x^{2} -2x} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{0 }{0}$$
Dans ce genre de situation, il faut penser à factoriser soit le numérateur soit le dénominateur .
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{2x^{2} -3x}{5x^{2} -2x} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{x\left(\frac{2x^{2} -3x}{x} \right)}{x\left(\frac{5x^{2} -2x}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{2x^{2} -3x}{5x^{2} -2x} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{x\left(\frac{2x^{2} }{x} -\frac{3x}{x} \right)}{x\left(\frac{5x^{2} }{x} -\frac{2x}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{2x^{2} -3x}{5x^{2} -2x} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{x\left(2x-3\right)}{x\left(5x-2\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{2x^{2} -3x}{5x^{2} -2x} ={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} \frac{2x-3}{5x-2}$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim 2x-3}\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} } & {=} & {-3} \\ {{\mathop{\lim 5x-2}\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} } & {=} & {-2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 1^{+} } 2x-2} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to 1^{+} } x^{2} -1} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$\frac{0}{0}$$.
Nous allons factoriser le dénominateur $$x^{2} -1$$ à l'aide de l'identité remarquable $$a^{2} -b^{2} =\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$ .
On a alors : $$x^{2} -1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$
Il vient alors que :
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$ . On va maintenant factoriser le numérateur par $$2$$ .
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$ . On va maintenant simplifier par $$x-1$$ au numérateur et dénominateur.
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2\left(\cancel{x-1}\right)}{\left(\cancel{x-1}\right)\left(x+1\right)}$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2x-2}{x^{2} -1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 1^{+} } \frac{2}{x+1}$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim 2}\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} } & {=} & {2} \\ {{\mathop{\lim x+1}\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -6^{+} } 2x+12} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to -6^{+} } x^{2} -36} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$\frac{0}{0}$$.
Nous allons factoriser le dénominateur $$x^{2} -36$$ à l'aide de l'identité remarquable $$a^{2} -b^{2} =\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$ .
On a alors : $$x^{2} -36=\left(x-6\right)\left(x+6\right)$$
Il vient alors que :
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2x+12}{x^{2} -36} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2x+12}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$$ . On va maintenant factoriser le numérateur par $$2$$ .
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2x+12}{x^{2} -36} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2\left(x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$$ . On va maintenant simplifier par $$x+6$$ au numérateur et dénominateur.
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2x+12}{x^{2} -36} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2\left(\cancel{x+6}\right)}{\left(x-6\right)\left(\cancel{x+6}\right)}$$
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2x+12}{x^{2} -36} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -6^{+} } \frac{2}{x-6}$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim 2}\limits_{\begin{array}{l} {x\to -6} \\ {x>-6} \end{array}}} } & {=} & {2} \\ {{\mathop{\lim x-6}\limits_{\begin{array}{l} {x\to -6} \\ {x>-6} \end{array}}} } & {=} & {-12} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$