Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x} \right)\left(\sqrt{x+5} +\sqrt{x} \right)}$$ . Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} \right)^{2} -\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5}$$
Or : $$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} =+\infty$$ et $$\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x} =+\infty$$, ainsi : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5} =+\infty$$
Finalement :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} -x\right)\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}{\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}$$ . Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} \right)^{2} -x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} +2-x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2}{\sqrt{x^{2} +2} +x}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^{2} +2}+x } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x=0$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 3 } \sqrt{x+6} -3} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to 3 } x-3} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$\frac{0}{0}$$$${\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\left(\sqrt{x+6} -3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\left(\sqrt{x+6} \right)^{2} -3^{2} }{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{x+6-9}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\cancel{x-3}}{\left(\cancel{x-3}\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{1}{\sqrt{x+6} +3}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 3 } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to 3 } \sqrt{x+6}+3 } & {=} & {6 } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement :