Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+2}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $+\infty -\infty$
$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $\sqrt{x+2} -\sqrt{x+1}$ qui est $\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1}$. Cela nous donne donc :
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} \right)\left(\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$ . Apparaît ici l'identité remarquable $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$ .
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x+2} \right)^{2} -\left(\sqrt{x+1} \right)^{2} }{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x+2-\left(x+1\right)}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x+2-x-1}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{1}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$
$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1 } & {=} & {1 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ $\text{\red{par quotient}}$
Finalement : ${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1}=0$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{x^{2} -4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{x^{2} -4}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $+\infty -\infty$$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $\sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2}$ qui est $\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2}$. Cela nous donne donc :${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} \right)\left(\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} \right)}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$ . Apparaît ici l'identité remarquable $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$ .
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} -4} \right)^{2} -\left(\sqrt{x^{2} +2} \right)^{2} }{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} -4-\left(x^{2} +2\right)}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} -4-x^{2} -2}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{-6}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$
$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -6 } & {=} & {-6} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ $\text{\red{par quotient}}$
Finalement : ${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} =0$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{7-x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{2-x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $+\infty -\infty$
$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $\sqrt{7-x} -\sqrt{2-x}$ qui est $\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x}$. Cela nous donne donc :${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} \right)\left(\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} \right)}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$ . Apparaît ici l'identité remarquable $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$ .
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{7-x} \right)^{2} -\left(\sqrt{2-x} \right)^{2} }{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{7-x-\left(2-x\right)}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{7-x-2+x}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{5}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$
$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ $\text{\red{par quotient}}$
Finalement : ${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x}=0$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $+\infty -\infty$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x} \right)\left(\sqrt{x+5} +\sqrt{x} \right)}$ . Apparaît ici l'identité remarquable $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$ .
$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} \right)^{2} -\left(\sqrt{x} \right)^{2} }$
$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5}$
Or : $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} =+\infty$ et $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x} =+\infty$, ainsi : $\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5} =+\infty$
Finalement :

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $+\infty -\infty$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} -x\right)\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}{\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}$ . Apparaît ici l'identité remarquable $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$ .
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} \right)^{2} -x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} +2-x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}$
${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2}{\sqrt{x^{2} +2} +x}$
$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^{2} +2}+x } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$ $\text{\red{par quotient}}$
Finalement : ${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x=0$