Limites de fonctions
Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué
Exercice 1
Déterminer les limites suivantes :
1
x→+∞limx+2−x+1
Correction
x→+∞limx+2x→+∞limx+2==+∞+∞} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞
Pour relever ce type d’indeˊtermination, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de x+2−x+1 qui est x+2+x+1. Cela nous donne donc :
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1(x+2−x+1)(x+2+x+1) . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 .
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1(x+2)2−(x+1)2
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1x+2−(x+1)
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1x+2−x−1
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+11
x→+∞lim1x→+∞limx+2+x+1==1+∞} par quotient
Finalement : x→+∞limx+2−x+1=0
- Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b, il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué a+b afin d'obtenir une forme a−b=a+b(a−b)(a+b).
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1(x+2−x+1)(x+2+x+1) . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 .
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1(x+2)2−(x+1)2
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1x+2−(x+1)
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+1x+2−x−1
x→+∞limx+2−x+1=x→+∞limx+2+x+11
x→+∞lim1x→+∞limx+2+x+1==1+∞} par quotient
x→+∞limx+2+x+11=0
Finalement : x→+∞limx+2−x+1=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
2
x→−∞limx2−4−x2+2
Correction
x→−∞limx2−4x→−∞limx2−4==+∞+∞⎭⎬⎫ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞Pour relever ce type d’indeˊtermination, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de x2−4−x2+2 qui est x2−4+x2+2. Cela nous donne donc :x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2(x2−4−x2+2)(x2−4+x2+2) . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 .
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2(x2−4)2−(x2+2)2
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2x2−4−(x2+2)
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2x2−4−x2−2
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2−6
x→−∞lim−6x→−∞limx2−4+x2+2==−6+∞} par quotient
Finalement : x→−∞limx2−4−x2+2=0
- Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b, il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué a+b afin d'obtenir une forme a−b=a+b(a−b)(a+b).
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2(x2−4)2−(x2+2)2
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2x2−4−(x2+2)
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2x2−4−x2−2
x→−∞limx2−4−x2+2=x→−∞limx2−4+x2+2−6
x→−∞lim−6x→−∞limx2−4+x2+2==−6+∞} par quotient
x→−∞limx2−4+x2+2−6=0
Finalement : x→−∞limx2−4−x2+2=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
3
x→−∞lim7−x−2−x
Correction
x→−∞lim7−xx→−∞lim2−x==+∞+∞} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞
Pour relever ce type d’indeˊtermination, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de 7−x−2−x qui est 7−x+2−x. Cela nous donne donc :x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x(7−x−2−x)(7−x+2−x) . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 .
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x(7−x)2−(2−x)2
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x7−x−(2−x)
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x7−x−2+x
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x5
x→−∞lim5x→−∞lim7−x+2−x==5+∞} par quotient
Finalement : x→−∞lim7−x−2−x=0
- Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b, il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué a+b afin d'obtenir une forme a−b=a+b(a−b)(a+b).
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x(7−x)2−(2−x)2
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x7−x−(2−x)
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x7−x−2+x
x→−∞lim7−x−2−x=x→−∞lim7−x+2−x5
x→−∞lim5x→−∞lim7−x+2−x==5+∞} par quotient
x→−∞lim7−x+2−x5=0
Finalement : x→−∞lim7−x−2−x=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
Exercice 2
Déterminer les limites suivantes :
1
x→+∞limx+5−x1
Correction
x→+∞limx+5x→+∞limx==+∞+∞} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞x→+∞limx+5−x1=x→+∞lim(x+5−x)(x+5+x)x+5+x . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 .
x→+∞limx+5−x1=x→+∞lim(x+5)2−(x)2x+5+x
x→+∞limx+5−x1=x→+∞lim5x+5+x
Or : x→+∞limx+5=+∞ et x→+∞limx=+∞, ainsi : x→+∞lim5x+5+x=+∞
Finalement :
- Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b, il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué a+b afin d'obtenir une forme a−b=a+b(a−b)(a+b).
x→+∞limx+5−x1=x→+∞lim(x+5)2−(x)2x+5+x
x→+∞limx+5−x1=x→+∞lim5x+5+x
Or : x→+∞limx+5=+∞ et x→+∞limx=+∞, ainsi : x→+∞lim5x+5+x=+∞
Finalement :
x→+∞limx+5−x1=+∞
2
x→+∞limx2+2−x
Correction
x→+∞limx2+2x→+∞limx==+∞+∞} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞x→+∞limx2+2−x=x→+∞lim(x2+2+x)(x2+2−x)(x2+2+x) . Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2 .
x→+∞limx2+2−x=x→+∞limx2+2+x(x2+2)2−x2
x→+∞limx2+2−x=x→+∞limx2+2+xx2+2−x2
x→+∞limx2+2−x=x→+∞limx2+2+x2
x→+∞lim2x→+∞limx2+2+x==2+∞} par quotient
Finalement : x→+∞limx2+2−x=0
- Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b, il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué a+b afin d'obtenir une forme a−b=a+b(a−b)(a+b).
x→+∞limx2+2−x=x→+∞limx2+2+x(x2+2)2−x2
x→+∞limx2+2−x=x→+∞limx2+2+xx2+2−x2
x→+∞limx2+2−x=x→+∞limx2+2+x2
x→+∞lim2x→+∞limx2+2+x==2+∞} par quotient
x→+∞limx2+2+x2=0
Finalement : x→+∞limx2+2−x=0
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