Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+1}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $$\sqrt{x+2} -\sqrt{x+1}$$ qui est $$\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1}$$. Cela nous donne donc :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} \right)\left(\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} \right)}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$$ . Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x+2} \right)^{2} -\left(\sqrt{x+1} \right)^{2} }{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x+2-\left(x+1\right)}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x+2-x-1}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{1}{\sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1 } & {=} & {1 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+2} +\sqrt{x+1} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x+2} -\sqrt{x+1}=0$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{x^{2} -4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{x^{2} +2}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$$$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $$\sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2}$$ qui est $$\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2}$$. Cela nous donne donc :$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} \right)\left(\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} \right)}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$$ . Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} -4} \right)^{2} -\left(\sqrt{x^{2} +2} \right)^{2} }{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} -4-\left(x^{2} +2\right)}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} -4-x^{2} -2}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{-6}{\sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -6 } & {=} & {-6} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{x^{2} -4} +\sqrt{x^{2} +2} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{x^{2} -4} -\sqrt{x^{2} +2} =0$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{7-x} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{2-x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
$$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $$\sqrt{7-x} -\sqrt{2-x}$$ qui est $$\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x}$$. Cela nous donne donc :$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} \right)\left(\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} \right)}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$$ . Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\sqrt{7-x} \right)^{2} -\left(\sqrt{2-x} \right)^{2} }{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{7-x-\left(2-x\right)}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{7-x-2+x}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{5}{\sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{7-x} +\sqrt{2-x} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \sqrt{7-x} -\sqrt{2-x}=0$$