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Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 3

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞−x2−2x+2\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2

Correction
lim⁡x→−∞−x2=−∞lim⁡x→−∞−2x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x2\blue{x^{2} }.
lim⁡x→−∞−x2−2x+2=lim⁡x→−∞x2(−x2−2x+2x2)\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{-x^{2} -2x+2}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞−x2−2x+2=lim⁡x→−∞x2(−x2x2−2xx2+2x2)\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{-x^{2} }{x^{2} } -\frac{2x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞−x2−2x+2=lim⁡x→−∞x2(−1−2x+2x2)\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(-1-\frac{2}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞−1−2x+2x2=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -1-\dfrac{2}{x} +\dfrac{2}{x^{2} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x2(−1−2x+2x2)=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(-1-\frac{2}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞−x2−2x+2=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2} -2x+2=-\infty
Question 2

lim⁡x→+∞6x3−5x−3\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3

Correction
lim⁡x→+∞6x3=+∞lim⁡x→+∞−5x−3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x3\blue{x^{3} }.
lim⁡x→+∞6x3−5x−3=lim⁡x→+∞x3(6x3−5x−3x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{6x^{3} -5x-3}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞6x3−5x−3=lim⁡x→+∞x3(6x3x3−5xx3−3x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{6x^{3} }{x^{3} } -\frac{5x}{x^{3} } -\frac{3}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞6x3−5x−3=lim⁡x→+∞x3(6−5x2−3x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(6-\frac{5}{x^{2}} -\frac{3}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞6−5x2−3x3=6}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 6-\dfrac{5}{x^{^2}} -\dfrac{3}{x^{3} } } & {=} & {6} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x3(6−5x2−3x3)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(6-\frac{5}{x^{2}} -\frac{3}{x^{3} } \right)=+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞6x3−5x−3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 6x^{3} -5x-3=+\infty

Question 3

lim⁡x→+∞−10x2+5x+1\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1

Correction
lim⁡x→+∞−10x2=−∞lim⁡x→+∞5x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x2\blue{x^{2} }.
lim⁡x→+∞−10x2+5x+1=lim⁡x→+∞x2(−10x2+5x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{-10x^{2} +5x+1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞−10x2+5x+1=lim⁡x→+∞x2(−10x2x2+5xx2+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{-10x^{2} }{x^{2} } +\frac{5x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞−10x2+5x+1=lim⁡x→+∞x2(−10+5x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(-10+\frac{5}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞x2=+∞lim⁡x→+∞−10+5x+1x2=−10}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -10+\dfrac{5}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } } & {=} & {-10} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x2(−10+5x+1x2)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(-10+\frac{5}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞−10x2+5x+1=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -10x^{2} +5x+1=-\infty

Question 4

lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7

Correction
lim⁡x→+∞8x3+3x2=+∞lim⁡x→+∞−5x+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x3\blue{x^{3} }.
lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7=lim⁡x→+∞x3(8x3+3x2−5x+7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{8x^{3} +3x^{2}-5x+7}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7=lim⁡x→+∞x3(8x3x3+3x2x3−5xx3+7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{8x^{3} }{x^{3} } +\frac{3x^{2}}{x^{3} }-\frac{5x}{x^{3} } +\frac{7}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7=lim⁡x→+∞x3(8+3x−5x2+7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(8+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^{2}} +\frac{7}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞8+3x−5x2+7x3=8}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 8+\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x^{2}} +\dfrac{7}{x^{3} } } & {=} & {8} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x3(8+3x−5x2+7x3)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(8+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^{2}} +\frac{7}{x^{3} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞8x3+3x2−5x+7=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 8x^{3} +3x^{2}-5x+7 =+\infty

Question 5

lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1

Correction
lim⁡x→−∞6x4+7x3=+∞lim⁡x→−∞−4x2−1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -4x^{2}-1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x4\blue{x^{4} }.
lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1=lim⁡x→−∞x4(6x4+7x3−4x2−1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1=lim⁡x→−∞x4(6x4x4+7x3x4−4x2x4−1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{6x^{4} }{x^{4} }+\frac{7x^{3}}{x^{4} } -\frac{4x^{2}}{x^{4} } -\frac{1}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1=lim⁡x→−∞x4(6+7x−4x2−1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(6+\frac{7}{x }-\frac{4}{x^{2}} -\frac{1}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞x4=+∞lim⁡x→−∞6+7x−4x2−1x4=6}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 6+\dfrac{7}{x }-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x^{4} } } & {=} & {6} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x4(6+7x−4x2−1x4)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(6+\frac{7}{x }-\frac{4}{x^{2}} -\frac{1}{x^{4} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞6x4+7x3−4x2−1=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{4}+7x^{3} -4x^{2}-1=+\infty

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