Limites de fonctions

Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 2

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞−3x2−4x+1\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1

Correction
lim⁡x→−∞−3x2=−∞lim⁡x→−∞−4x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -4x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x2\blue{x^{2} }.
lim⁡x→−∞−3x2−4x+1=lim⁡x→−∞x2(−3x2−4x+1x2)\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{-3x^{2} -4x+1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞−3x2−4x+1=lim⁡x→−∞x2(−3x2x2−4xx2+1x2)\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{-3x^{2} }{x^{2} } -\frac{4x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞−3x2−4x+1=lim⁡x→−∞x2(−3−4x+1x2)\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(-3-\frac{4}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞−3−4x+1x2=−3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -3-\frac{4}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {-3} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x2(−3−4x+1x2)=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(-3-\frac{4}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞−3x2−4x+1=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2} -4x+1=-\infty
Question 2

lim⁡x→+∞5x3−3x−4\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4

Correction
lim⁡x→+∞5x3=+∞lim⁡x→+∞−3x−4=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x-4} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x3\blue{x^{3} }.
lim⁡x→+∞5x3−3x−4=lim⁡x→+∞x3(5x3−3x−4x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{5x^{3} -3x-4}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞5x3−3x−4=lim⁡x→+∞x3(5x3x3−3xx3−4x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{5x^{3} }{x^{3} } -\frac{3x}{x^{3} } -\frac{4}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞5x3−3x−4=lim⁡x→+∞x3(5−3x2−4x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(5-\frac{3}{x^{2}} -\frac{4}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞5−3x2−4x3=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-\frac{3}{x^{^2}} -\frac{4}{x^{3} } } & {=} & {5} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x3(5−3x2−4x3)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(5-\frac{3}{x^{2}} -\frac{4}{x^{3} } \right)=+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞5x3−3x−4=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{3} -3x-4=+\infty

Question 3

lim⁡x→+∞−x2+7x+2\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2

Correction
lim⁡x→+∞−x2=−∞lim⁡x→+∞7x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 7x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x2\blue{x^{2} }.
lim⁡x→+∞−x2+7x+2=lim⁡x→+∞x2(−x2+7x+2x2)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{-x^{2} +7x+2}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞−x2+7x+2=lim⁡x→+∞x2(−x2x2+7xx2+2x2)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{-x^{2} }{x^{2} } +\frac{7x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞−x2+7x+2=lim⁡x→+∞x2(−1+7x+2x2)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(-1+\frac{7}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞x2=+∞lim⁡x→+∞−1+7x+2x2=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1+\frac{7}{x} +\frac{2}{x^{2} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x2(−1+7x+2x2)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(-1+\frac{7}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞−x2+7x+2=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +7x+2=-\infty

Question 4

lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9

Correction
lim⁡x→+∞2x3+8x2=+∞lim⁡x→+∞−6x+9=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -6x+9} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x3\blue{x^{3} }.
lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9=lim⁡x→+∞x3(2x3+8x2−6x+9x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{2x^{3} +8x^{2}-6x+9}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9=lim⁡x→+∞x3(2x3x3+8x2x3−6xx3+9x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{2x^{3} }{x^{3} } +\frac{8x^{2}}{x^{3} }-\frac{6x}{x^{3} } +\frac{9}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9=lim⁡x→+∞x3(2+8x−6x2+9x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(2+\frac{8}{x}-\frac{6}{x^{2}} +\frac{9}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞2+8x−6x2+9x3=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{8}{x}-\frac{6}{x^{2}} +\frac{9}{x^{3} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x3(2+8x−6x2+9x3)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(2+\frac{8}{x}-\frac{6}{x^{2}} +\frac{9}{x^{3} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞2x3+8x2−6x+9=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} +8x^{2}-6x+9 =+\infty

Question 5

lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5

Correction
lim⁡x→−∞x4+2x3=+∞lim⁡x→−∞−3x2−5=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2}-5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x4\blue{x^{4} }.
lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5=lim⁡x→−∞x4(x4+2x3−3x2−5x4)\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5=lim⁡x→−∞x4(x4x4+2x3x4−3x2x4−5x4)\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{x^{4} }{x^{4} }+\frac{2x^{3}}{x^{4} } -\frac{3x^{2}}{x^{4} } -\frac{5}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5=lim⁡x→−∞x4(1+2x−3x2−5x4)\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(1+\frac{2}{x }-\frac{3}{x^{2}} -\frac{5}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞x4=+∞lim⁡x→−∞1+2x−3x2−5x4=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{2}{x }-\frac{3}{x^{2}} -\frac{5}{x^{4} } } & {=} & {1} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x4(1+2x−3x2−5x4)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(1+\frac{2}{x }-\frac{3}{x^{2}} -\frac{5}{x^{4} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞x4+2x3−3x2−5=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3} -3x^{2}-5=+\infty