Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 3

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞6x+94x+7\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7}

Correction
lim⁡x→−∞6x+9=−∞lim⁡x→−∞4x+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x+9} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}
Il vient :
lim⁡x→−∞6x+94x+7=lim⁡x→−∞x(6x+9x)x(4x+7x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{6x+9}{x} \right)}{x\left(\frac{4x+7}{x} \right)}
lim⁡x→−∞6x+94x+7=lim⁡x→−∞x(6xx+9x)x(4xx+7x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{6x}{x} +\frac{9}{x} \right)}{x\left(\frac{4x}{x} +\frac{7}{x} \right)}
lim⁡x→−∞6x+94x+7=lim⁡x→−∞x(6+9x)x(4+7x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(6+\frac{9}{x} \right)}{x\left(4+\frac{7}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→−∞6x+94x+7=lim⁡x→−∞6+9x4+7x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6+\frac{9}{x} }{4+\frac{7}{x} }
Ainsi : lim⁡x→−∞6+9x=6lim⁡x→−∞4+7x=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6+\frac{9}{x}} & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4+\frac{7}{x}} & {=} & {4} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞6+9x4+7x=64\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6+\frac{9}{x} }{4+\frac{7}{x} } =\frac{6}{4}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞6x+94x+7=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\frac{3}{2}

Question 2

lim⁡x→+∞5x−110x2+3x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x}

Correction
lim⁡x→+∞5x−1=+∞lim⁡x→+∞10x2+3x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 10x^{2} +3x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^2}
Il vient :
lim⁡x→+∞5x−110x2+3x=lim⁡x→+∞x(5x−1x)x2(10x2+3xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{5x-1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{10x^{2} +3x}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞5x−110x2+3x=lim⁡x→+∞x(5xx−1x)x2(10x2x2+3xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{5x}{x} -\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{10x^{2} }{x^{2} } +\frac{3x}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞5x−110x2+3x=lim⁡x→+∞x(5−1x)x2(10+3x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(5-\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(10+\frac{3}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→+∞5x−110x2+3x=lim⁡x→+∞5−1xx(10+3x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5-\frac{1}{x} }{x\left(10+\frac{3}{x} \right)}
Ainsi : lim⁡x→+∞5−1x=5lim⁡x→+∞x(10+3x)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-\frac{1}{x} } & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(10+\frac{3}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→+∞5−1xx(10+3x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5-\frac{1}{x} }{x\left(10+\frac{3}{x} \right)}=0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞5x−110x2+3x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x}=0

On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5}

Correction
lim⁡x→−∞8x2−7x=+∞lim⁡x→−∞4x+5=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 8x^{2}-7x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x+5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}
Il vient :
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=lim⁡x→−∞x2(8x2−7xx2)x(4x+5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{8x^{2}-7x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{4x+5}{x} \right)}
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=lim⁡x→−∞x2(8x2x2−7xx2)x(4xx+5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{8x^{2} }{x^{2} } -\frac{7x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{4x}{x} +\frac{5}{x} \right)}
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=lim⁡x→−∞x2(8−7x)x(4+5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(8-\frac{7}{x} \right)}{x\left(4+\frac{5}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=lim⁡x→−∞x(8−7x)4+5x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(8 -\frac{7}{x} \right) }{4+\frac{5}{x} }
Ainsi : lim⁡x→−∞x(8−7x)=−∞lim⁡x→−∞4+5x=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(8 -\frac{7}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4+\frac{5}{x}} & {=} & {4} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞x(8−7x)4+5x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(8 -\frac{7}{x} \right) }{4+\frac{5}{x} } =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞8x2−7x4x+5=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2}+3x+6}

Correction
lim⁡x→+∞11x2+5=+∞lim⁡x→+∞9x2+3x+6=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 11x^{2}+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 9x^{2} +3x+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}
Il vient :
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=lim⁡x→+∞x2(11x2+5x2)x2(9x2+3x+6x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{11x^{2}+5}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{9x^{2} +3x+6}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=lim⁡x→+∞x2(11x2x2+5x2)x2(9x2x2+3xx2+6x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{11x^{2} }{x^{2} } +\frac{5}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{9x^{2} }{x^{2} } +\frac{3x}{x^{2} } +\frac{6}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=lim⁡x→+∞x2(11+5x2)x2(9+3x+6x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(11+\frac{5}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x2x^{2} .
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=lim⁡x→+∞11+5x29+3x+6x2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11+\frac{5}{x^{2} } }{9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } }
Ainsi : lim⁡x→+∞11+5x2=11lim⁡x→+∞9+3x+6x2=9}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 11+\frac{5}{x^{2}}} & {=} & {11} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } } & {=} & {9} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→+∞11+5x29+3x+6x2=119\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11+\frac{5}{x^{2} } }{9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } } =\frac{11}{9}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞11x2+59x2+3x+6=119\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\frac{11}{9}

Question 5

lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8}

Correction
lim⁡x→−∞12x3+6x=−∞lim⁡x→−∞4x4+16x3+8=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 12x^{3}+6x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x^{4}+16x^{3}+8} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x3\blue{x^{3}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x4\blue{x^{4}}
Il vient :
lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8=lim⁡x→−∞x3(12x3+6xx3)x4(4x4+16x3+8x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{12x^{3} +6x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{4x^{4}+16x^{3}+8}{x^{4} } \right)}
lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8=lim⁡x→−∞x3(12x3x3+6xx3)x4(4x4x4+16x3x4+8x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{12x^{3} }{x^{3} } +\frac{6x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{4x^{4} }{x^{4} } +\frac{16x^{3} }{x^{4} } +\frac{8}{x^{4} } \right)}
lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8=lim⁡x→−∞x3(12+6x2)x4(4+16x+8x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(12+\frac{6}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)} . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x3x^{3} .
lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8=lim⁡x→−∞12+6x2x(4+16x+8x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12+\frac{6}{x^{2} }}{x\left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)}
Ainsi : lim⁡x→−∞12+6x2=12lim⁡x→−∞x(4+16x+8x4)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 12+\frac{6}{x^{2} }} & {=} & {12} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞12+6x2x(4+16x+8x4)=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12+\frac{6}{x^{2} }}{x\left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)} =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞12x3+6x4x4+16x3+8=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =0

On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .

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