Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 3

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x+9} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{6x+9}{x} \right)}{x\left(\frac{4x+7}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{6x}{x} +\frac{9}{x} \right)}{x\left(\frac{4x}{x} +\frac{7}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(6+\frac{9}{x} \right)}{x\left(4+\frac{7}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x+9}{4x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6+\frac{9}{x} }{4+\frac{7}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6+\frac{9}{x}} & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4+\frac{7}{x}} & {=} & {4} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 10x^{2} +3x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^2}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{5x-1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{10x^{2} +3x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{5x}{x} -\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{10x^{2} }{x^{2} } +\frac{3x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(5-\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(10+\frac{3}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5x-1}{10x^{2} +3x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5-\frac{1}{x} }{x\left(10+\frac{3}{x} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-\frac{1}{x} } & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(10+\frac{3}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 8x^{2}-7x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x+5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{8x^{2}-7x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{4x+5}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{8x^{2} }{x^{2} } -\frac{7x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{4x}{x} +\frac{5}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(8-\frac{7}{x} \right)}{x\left(4+\frac{5}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{8x^{2}-7x}{4x+5} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(8 -\frac{7}{x} \right) }{4+\frac{5}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(8 -\frac{7}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4+\frac{5}{x}} & {=} & {4} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 11x^{2}+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 9x^{2} +3x+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{11x^{2}+5}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{9x^{2} +3x+6}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{11x^{2} }{x^{2} } +\frac{5}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{9x^{2} }{x^{2} } +\frac{3x}{x^{2} } +\frac{6}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(11+\frac{5}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11x^{2}+5}{9x^{2} +3x+6} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{11+\frac{5}{x^{2} } }{9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 11+\frac{5}{x^{2}}} & {=} & {11} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 9+\frac{3}{x} +\frac{6}{x^{2} } } & {=} & {9} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 12x^{3}+6x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x^{4}+16x^{3}+8} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{3}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{4}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{12x^{3} +6x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{4x^{4}+16x^{3}+8}{x^{4} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{12x^{3} }{x^{3} } +\frac{6x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{4x^{4} }{x^{4} } +\frac{16x^{3} }{x^{4} } +\frac{8}{x^{4} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(12+\frac{6}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{3}$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12x^{3}+6x}{4x^{4}+16x^{3}+8}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{12+\frac{6}{x^{2} }}{x\left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 12+\frac{6}{x^{2} }} & {=} & {12} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(4+\frac{16}{x} +\frac{8}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$