Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 2

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞5x+2x+7\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7}

Correction
lim⁡x→−∞5x+2=−∞lim⁡x→−∞x+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}
Il vient :
lim⁡x→−∞5x+2x+7=lim⁡x→−∞x(5x+2x)x(x+7x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{5x+2}{x} \right)}{x\left(\frac{x+7}{x} \right)}
lim⁡x→−∞5x+2x+7=lim⁡x→−∞x(5xx+2x)x(xx+7x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{5x}{x} +\frac{2}{x} \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{7}{x} \right)}
lim⁡x→−∞5x+2x+7=lim⁡x→−∞x(5+2x)x(1+7x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(5+\frac{2}{x} \right)}{x\left(1+\frac{7}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→−∞5x+2x+7=lim⁡x→−∞5+2x1+7x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5+\frac{2}{x} }{1+\frac{7}{x} }
Ainsi : lim⁡x→−∞5+2x=5lim⁡x→−∞1+7x=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5+\frac{2}{x}} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{7}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞5+2x1+7x=51\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5+\frac{2}{x} }{1+\frac{7}{x} } =\frac{5}{1}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞5x+2x+7=5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =5

Question 2

lim⁡x→+∞3x−62x2+4x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x}

Correction
lim⁡x→+∞3x−6=+∞lim⁡x→+∞2x2+4x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-6} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^2}
Il vient :
lim⁡x→+∞3x−62x2+4x=lim⁡x→+∞x(3x−6x)x2(2x2+4xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x-6}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{2x^{2} +4x}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞3x−62x2+4x=lim⁡x→+∞x(3xx−6x)x2(2x2x2+4xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x}{x} -\frac{6}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{2x^{2} }{x^{2} } +\frac{4x}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞3x−62x2+4x=lim⁡x→+∞x(3−6x)x2(2+4x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(3-\frac{6}{x} \right)}{x^{2} \left(2+\frac{4}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→+∞3x−62x2+4x=lim⁡x→+∞3−6xx(2+4x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3-\frac{6}{x} }{x\left(2+\frac{4}{x} \right)}
Ainsi : lim⁡x→+∞3−6x=3lim⁡x→+∞x(2+4x)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{6}{x} } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(2+\frac{4}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→+∞3−6xx(2+4x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3-\frac{6}{x} }{x\left(2+\frac{4}{x} \right)}=0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞3x−62x2+4x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x}=0

On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3}

Correction
lim⁡x→−∞6x2−4x=+∞lim⁡x→−∞2x+3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{2}-4x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}
Il vient :
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=lim⁡x→−∞x2(6x2−4xx2)x(2x+3x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{6x^{2}-4x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{2x+3}{x} \right)}
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=lim⁡x→−∞x2(6x2x2−4xx2)x(2xx+3x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{6x^{2} }{x^{2} } -\frac{4x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{3}{x} \right)}
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=lim⁡x→−∞x2(6−4x)x(2+3x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(6-\frac{4}{x} \right)}{x\left(2+\frac{3}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=lim⁡x→−∞x(6−4x)2+3x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(6 -\frac{4}{x} \right) }{2+\frac{3}{x} }
Ainsi : lim⁡x→−∞x(6−4x)=−∞lim⁡x→−∞2+3x=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(6 -\frac{4}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\frac{3}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞x(6−4x)2+3x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(6 -\frac{4}{x} \right) }{2+\frac{3}{x} } =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2}+8x+2}

Correction
lim⁡x→+∞4x2+9=+∞lim⁡x→+∞5x2+8x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+9} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2} +8x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}
Il vient :
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=lim⁡x→+∞x2(4x2+9x2)x2(5x2+8x+2x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{4x^{2}+9}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{5x^{2} +8x+2}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=lim⁡x→+∞x2(4x2x2+9x2)x2(5x2x2+8xx2+2x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } +\frac{9}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{5x^{2} }{x^{2} } +\frac{8x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=lim⁡x→+∞x2(4+9x2)x2(5+8x+2x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(4+\frac{9}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x2x^{2} .
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=lim⁡x→+∞4+9x25+8x+2x2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{9}{x^{2} } }{5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } }
Ainsi : lim⁡x→+∞4+9x2=4lim⁡x→+∞5+8x+2x2=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\frac{9}{x^{2}}} & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } } & {=} & {5} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→+∞4+9x25+8x+2x2=45\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{9}{x^{2} } }{5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } } =\frac{4}{5}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=45\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\frac{4}{5}

Question 5

lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{x^{4}+6x^{3}+6}

Correction
lim⁡x→−∞7x3+3x=−∞lim⁡x→−∞x4+6x3+6=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 7x^{3}+3x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+6x^{3}+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x3\blue{x^{3}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x4\blue{x^{4}}
Il vient :
lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6=lim⁡x→−∞x3(7x3+3xx3)x4(x4+6x3+6x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{7x^{3} +3x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} +6x^{3} +6}{x^{4} } \right)}
lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6=lim⁡x→−∞x3(7x3x3+3xx3)x4(x4x4+6x3x4+6x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{7x^{3} }{x^{3} } +\frac{3x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} }{x^{4} } +\frac{6x^{3} }{x^{4} } +\frac{6}{x^{4} } \right)}
lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6=lim⁡x→−∞x3(7+3x2)x4(1+6x+6x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(7+\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)} . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x3x^{3} .
lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6=lim⁡x→−∞7+3x2x(1+6x+6x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7+\frac{3}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)}
Ainsi : lim⁡x→−∞7+3x2=7lim⁡x→−∞x(1+6x+6x4)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 7+\frac{3}{x^{2} }} & {=} & {7} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞7+3x2x(1+6x+6x4)=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7+\frac{3}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)} =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =0

On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .

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