Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{5x+2}{x} \right)}{x\left(\frac{x+7}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{5x}{x} +\frac{2}{x} \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{7}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(5+\frac{2}{x} \right)}{x\left(1+\frac{7}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5+\frac{2}{x} }{1+\frac{7}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5+\frac{2}{x}} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{7}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-6} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^2}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x-6}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{2x^{2} +4x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{3x}{x} -\frac{6}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{2x^{2} }{x^{2} } +\frac{4x}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(3-\frac{6}{x} \right)}{x^{2} \left(2+\frac{4}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3-\frac{6}{x} }{x\left(2+\frac{4}{x} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{6}{x} } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(2+\frac{4}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{2}-4x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{6x^{2}-4x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{2x+3}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{6x^{2} }{x^{2} } -\frac{4x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{3}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(6-\frac{4}{x} \right)}{x\left(2+\frac{3}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(6 -\frac{4}{x} \right) }{2+\frac{3}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(6 -\frac{4}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\frac{3}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+9} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2} +8x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{4x^{2}+9}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{5x^{2} +8x+2}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } +\frac{9}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{5x^{2} }{x^{2} } +\frac{8x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(4+\frac{9}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4+\frac{9}{x^{2} } }{5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\frac{9}{x^{2}}} & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5+\frac{8}{x} +\frac{2}{x^{2} } } & {=} & {5} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 7x^{3}+3x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+6x^{3}+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{3}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{4}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{7x^{3} +3x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} +6x^{3} +6}{x^{4} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{7x^{3} }{x^{3} } +\frac{3x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} }{x^{4} } +\frac{6x^{3} }{x^{4} } +\frac{6}{x^{4} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(7+\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{3}$$ .
$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{ x^{4}+6x^{3}+6}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7+\frac{3}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 7+\frac{3}{x^{2} }} & {=} & {7} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(1+\frac{6}{x} +\frac{6}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$