Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 1

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞3x+52x+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1}

Correction
lim⁡x→−∞3x+5=−∞lim⁡x→−∞2x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x+5} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}
Il vient :
lim⁡x→−∞3x+52x+1=lim⁡x→−∞x(3x+5x)x(2x+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\dfrac{3x+5}{x} \right)}{x\left(\dfrac{2x+1}{x} \right)}
lim⁡x→−∞3x+52x+1=lim⁡x→−∞x(3xx+5x)x(2xx+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\dfrac{3x}{x} +\dfrac{5}{x} \right)}{x\left(\dfrac{2x}{x} +\dfrac{1}{x} \right)}
lim⁡x→−∞3x+52x+1=lim⁡x→−∞x(3+5x)x(2+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3+\dfrac{5}{x} \right)}{x\left(2+\dfrac{1}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→−∞3x+52x+1=lim⁡x→−∞3+5x2+1x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\dfrac{5}{x} }{2+\dfrac{1}{x} }
Ainsi : lim⁡x→−∞3+5x=3lim⁡x→−∞2+1x=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\dfrac{5}{x}} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\dfrac{1}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞3+5x2+1x=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\dfrac{5}{x} }{2+\dfrac{1}{x} } =\frac{3}{2}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x+52x+1=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\frac{3}{2}

Question 2

lim⁡x→+∞2x−1x2+x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}

Correction
lim⁡x→+∞2x−1=+∞lim⁡x→+∞x2+x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^2}
Il vient :
lim⁡x→+∞2x−1x2+x=lim⁡x→+∞x(2x−1x)x2(x2+xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\dfrac{2x-1}{x} \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} +x}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞2x−1x2+x=lim⁡x→+∞x(2xx−1x)x2(x2x2+xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\dfrac{2x}{x} -\dfrac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} }{x^{2} } +\dfrac{x}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞2x−1x2+x=lim⁡x→+∞x(2−1x)x2(1+1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(2-\dfrac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(1+\dfrac{1}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→+∞2x−1x2+x=lim⁡x→+∞2−1xx(1+1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2-\dfrac{1}{x} }{x\left(1+\dfrac{1}{x} \right)}
Ainsi : lim⁡x→+∞2−1x=2lim⁡x→+∞x(1+1x)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\dfrac{1}{x} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1+\dfrac{1}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→+∞2−1xx(1+1x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2-\dfrac{1}{x} }{x\left(1+\dfrac{1}{x} \right)}=0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞2x−1x2+x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}=0

On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

lim⁡x→−∞3x2−xx+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1}

Correction
lim⁡x→−∞3x2−x=+∞lim⁡x→−∞x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{2}-x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x\blue{x}
Il vient :
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=lim⁡x→−∞x2(3x2−xx2)x(x+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{3x^{2}-x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{x+1}{x} \right)}
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=lim⁡x→−∞x2(3x2x2−xx2)x(xx+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{3x^{2} }{x^{2} } -\frac{x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{1}{x} \right)}
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=lim⁡x→−∞x2(3−1x)x(1+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(3-\frac{1}{x} \right)}{x\left(1+\frac{1}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=lim⁡x→−∞x(3−1x)1+1x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3 -\frac{1}{x} \right) }{1+\frac{1}{x} }
Ainsi : lim⁡x→−∞x(3−1x)=−∞lim⁡x→−∞1+1x=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(3 -\frac{1}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{1}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞x(3−1x)1+1x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3 -\frac{1}{x} \right) }{1+\frac{1}{x} } =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x2−xx+1=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}

Correction
lim⁡x→+∞x2+3=+∞lim⁡x→+∞x2+x+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x2\blue{x^{2}}
Il vient :
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞x2(x2+3x2)x2(x2+x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\dfrac{x^{2}+3}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞x2(x2x2+3x2)x2(x2x2+xx2+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} }{x^{2} } +\dfrac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\dfrac{x^{2} }{x^{2} } +\dfrac{x}{x^{2} } +\dfrac{1}{x^{2} } \right)}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞x2(1+3x2)x2(1+1x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(1+\dfrac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(1+\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x2x^{2} .
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=lim⁡x→+∞1+3x21+1x+1x2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\dfrac{3}{x^{2} } }{1+\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } }
Ainsi : lim⁡x→+∞1+3x2=1lim⁡x→+∞1+1x+1x2=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\dfrac{3}{x^{2}}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→+∞1+3x21+1x+1x2=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\dfrac{3}{x^{2} } }{1+\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } } =1

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞x2+3x2+x+1=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =1

Question 5

lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}

Correction
lim⁡x→−∞3x3+5x=−∞lim⁡x→−∞x4+2x3+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{3}+5x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x3\blue{x^{3}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est-aˋ-dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est-à-dire par }} x4\blue{x^{4}}
Il vient :
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=lim⁡x→−∞x3(3x3+5xx3)x4(x4+2x3+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\dfrac{3x^{3} +5x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\dfrac{x^{4} +2x^{3} +1}{x^{4} } \right)}
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=lim⁡x→−∞x3(3x3x3+5xx3)x4(x4x4+2x3x4+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\dfrac{3x^{3} }{x^{3} } +\dfrac{5x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\dfrac{x^{4} }{x^{4} } +\dfrac{2x^{3} }{x^{4} } +\dfrac{1}{x^{4} } \right)}
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=lim⁡x→−∞x3(3+5x2)x4(1+2x+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(3+\dfrac{5}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(1+\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{4} } \right)} . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x3x^{3} .
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=lim⁡x→−∞3+5x2x(1+2x+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\dfrac{5}{x^{2} }}{x\left(1+\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{4} } \right)}
Ainsi : lim⁡x→−∞3+5x2=3lim⁡x→−∞x(1+2x+1x4)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\dfrac{5}{x^{2} }} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(1+\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡x→−∞3+5x2x(1+2x+1x4)=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\dfrac{5}{x^{2} }}{x\left(1+\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{4} } \right)} =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x3+5xx4+2x3+1=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =0

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