Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 1
20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1
x→−∞lim2x+13x+5
Correction
x→−∞lim3x+5x→−∞lim2x+1==−∞−∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ Pour lever cette indeˊtermination On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x Il vient : x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞limx(x2x+1)x(x3x+5) x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞limx(x2x+x1)x(x3x+x5) x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞limx(2+x1)x(3+x5) . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x . x→−∞lim2x+13x+5=x→−∞lim2+x13+x5 Ainsi : x→−∞lim3+x5x→−∞lim2+x1==32⎭⎬⎫par quotient :
x→−∞lim2+x13+x5=23
Finalement :
x→−∞lim2x+13x+5=23
Question 2
x→+∞limx2+x2x−1
Correction
x→+∞lim2x−1x→+∞limx2+x==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ Pour lever cette indeˊtermination On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x2 Il vient : x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx2(x2x2+x)x(x2x−1) x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx2(x2x2+x2x)x(x2x−x1) x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx2(1+x1)x(2−x1) . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x . x→+∞limx2+x2x−1=x→+∞limx(1+x1)2−x1 Ainsi : x→+∞lim2−x1x→+∞limx(1+x1)==2+∞⎭⎬⎫par quotient :
x→+∞limx(1+x1)2−x1=0
Finalement :
x→+∞limx2+x2x−1=0
On rappelle que : ∞Nombre=0.
Question 3
x→−∞limx+13x2−x
Correction
x→−∞lim3x2−xx→−∞limx+1==+∞−∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ Pour lever cette indeˊtermination On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x2 et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x Il vient : x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx(xx+1)x2(x23x2−x) x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx(xx+x1)x2(x23x2−x2x) x→−∞limx+13x2−x=x→−∞limx(1+x1)x2(3−x1) . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x . x→−∞limx+13x2−x=x→−∞lim1+x1x(3−x1) Ainsi : x→−∞limx(3−x1)x→−∞lim1+x1==−∞1}par quotient :
x→−∞lim1+x1x(3−x1)=−∞
Finalement :
x→−∞limx+13x2−x=−∞
Question 4
x→+∞limx2+x+1x2+3
Correction
x→+∞limx2+3x→+∞limx2+x+1==+∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ Pour lever cette indeˊtermination On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x2 et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x2 Il vient : x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2(x2x2+x+1)x2(x2x2+3) x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2(x2x2+x2x+x21)x2(x2x2+x23) x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞limx2(1+x1+x21)x2(1+x23) . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x2 . x→+∞limx2+x+1x2+3=x→+∞lim1+x1+x211+x23 Ainsi : x→+∞lim1+x23x→+∞lim1+x1+x21==11⎭⎬⎫par quotient :
x→+∞lim1+x1+x211+x23=1
Finalement :
x→+∞limx2+x+1x2+3=1
Question 5
x→−∞limx4+2x3+13x3+5x
Correction
x→−∞lim3x3+5xx→−∞limx4+2x3+1==−∞+∞} on obtient une forme indéterminée ∞∞ Pour lever cette indeˊtermination On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x3 et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par x4 Il vient : x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx4(x4x4+2x3+1)x3(x33x3+5x) x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx4(x4x4+x42x3+x41)x3(x33x3+x35x) x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx4(1+x2+x41)x3(3+x25) . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x3 . x→−∞limx4+2x3+13x3+5x=x→−∞limx(1+x2+x41)3+x25 Ainsi : x→−∞lim3+x25x→−∞limx(1+x2+x41)==3−∞⎭⎬⎫par quotient :