Limites de fonctions

Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation : QUOTIENT - Exercice 1

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

limx3x+52x+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1}

Correction
limx3x+5=+limx2x+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x\blue{x}
Il vient :
limx3x+52x+1=limxx(3x+5x)x(2x+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{3x+5}{x} \right)}{x\left(\frac{2x+1}{x} \right)}
limx3x+52x+1=limxx(3xx+5x)x(2xx+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(\frac{3x}{x} +\frac{5}{x} \right)}{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \right)}
limx3x+52x+1=limxx(3+5x)x(2+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3+\frac{5}{x} \right)}{x\left(2+\frac{1}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
limx3x+52x+1=limx3+5x2+1x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x} }{2+\frac{1}{x} }
Ainsi : limx3+5x=3limx2+1x=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\frac{5}{x}} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\frac{1}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
limx3+5x2+1x=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x} }{2+\frac{1}{x} } =\frac{3}{2}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx3x+52x+1=32\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x+5}{2x+1} =\frac{3}{2}

Question 2

limx+2x1x2+x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}

Correction
limx+2x1=+limx+x2+x=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x\blue{x}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x2\blue{x^2}
Il vient :
limx+2x1x2+x=limx+x(2x1x)x2(x2+xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2x-1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x}{x^{2} } \right)}
limx+2x1x2+x=limx+x(2xx1x)x2(x2x2+xx2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2x}{x} -\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } \right)}
limx+2x1x2+x=limx+x(21x)x2(1+1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(2-\frac{1}{x} \right)}{x^{2} \left(1+\frac{1}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
limx+2x1x2+x=limx+21xx(1+1x)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2-\frac{1}{x} }{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}
Ainsi : limx+21x=2limx+x(1+1x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\frac{1}{x} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1+\frac{1}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
limx+21xx(1+1x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2-\frac{1}{x} }{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}=0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx+2x1x2+x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x-1}{x^{2} +x}=0

On rappelle que : Nombre=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

limx3x2xx+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1}

Correction
limx3x2x=+limxx+1=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{2}-x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x\blue{x}
Il vient :
limx3x2xx+1=limxx2(3x2xx2)x(x+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{3x^{2}-x}{x^{2}} \right)}{x\left(\frac{x+1}{x} \right)}
limx3x2xx+1=limxx2(3x2x2xx2)x(xx+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{3x^{2} }{x^{2} } -\frac{x}{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{1}{x} \right)}
limx3x2xx+1=limxx2(31x)x(1+1x)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(3-\frac{1}{x} \right)}{x\left(1+\frac{1}{x} \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par xx .
limx3x2xx+1=limxx(31x)1+1x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3 -\frac{1}{x} \right) }{1+\frac{1}{x} }
Ainsi : limxx(31x)=limx1+1x=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(3 -\frac{1}{x} \right) } & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1+\frac{1}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
limxx(31x)1+1x=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x\left(3 -\frac{1}{x} \right) }{1+\frac{1}{x} } =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx3x2xx+1=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{2}-x}{x+1} =-\infty
Question 4

limx+x2+3x2+x+1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1}

Correction
limx+x2+3=+limx+x2+x+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x2\blue{x^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x2\blue{x^{2}}
Il vient :
limx+x2+3x2+x+1=limx+x2(x2+3x2)x2(x2+x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}\left(\frac{x^{2}+3}{x^{2}} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x+1}{x^{2} } \right)}
limx+x2+3x2+x+1=limx+x2(x2x2+3x2)x2(x2x2+xx2+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)}
limx+x2+3x2+x+1=limx+x2(1+3x2)x2(1+1x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(1+\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)} . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par x2x^{2} .
limx+x2+3x2+x+1=limx+1+3x21+1x+1x2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }
Ainsi : limx+1+3x2=1limx+1+1x+1x2=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{3}{x^{2}}} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
limx+1+3x21+1x+1x2=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } =1

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx+x2+3x2+x+1=1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2}+3}{x^{2}+x+1} =1

Question 5

limx3x3+5xx4+2x3+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}

Correction
limx3x3+5x=limxx4+2x3+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{3}+5x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+2x^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x3\blue{x^{3}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} x4\blue{x^{4}}
Il vient :
limx3x3+5xx4+2x3+1=limxx3(3x3+5xx3)x4(x4+2x3+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{3x^{3} +5x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} +2x^{3} +1}{x^{4} } \right)}
limx3x3+5xx4+2x3+1=limxx3(3x3x3+5xx3)x4(x4x4+2x3x4+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(\frac{3x^{3} }{x^{3} } +\frac{5x}{x^{3} } \right)}{x^{4} \left(\frac{x^{4} }{x^{4} } +\frac{2x^{3} }{x^{4} } +\frac{1}{x^{4} } \right)}
limx3x3+5xx4+2x3+1=limxx3(3+5x2)x4(1+2x+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{3} \left(3+\frac{5}{x^{2} } \right)}{x^{4} \left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)} . On simplifie le numérateur et le dénominateur par x3x^{3} .
limx3x3+5xx4+2x3+1=limx3+5x2x(1+2x+1x4)\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)}
Ainsi : limx3+5x2=3limxx(1+2x+1x4)=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3+\frac{5}{x^{2} }} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x\left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
limx3+5x2x(1+2x+1x4)=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3+\frac{5}{x^{2} }}{x\left(1+\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{4} } \right)} =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
limx3x3+5xx4+2x3+1=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3x^{3}+5x}{x^{4}+2x^{3}+1} =0