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Limites de fonctions

Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 1

20 min
35
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→−∞2x2+2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3

Correction
lim⁡x→−∞2x2=+∞lim⁡x→−∞2x+3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x2\blue{x^{2} }.
lim⁡x→−∞2x2+2x+3=lim⁡x→−∞x2(2x2+2x+3x2)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{2x^{2} +2x+3}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞2x2+2x+3=lim⁡x→−∞x2(2x2x2+2xx2+3x2)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(\frac{2x^{2} }{x^{2} } +\frac{2x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞2x2+2x+3=lim⁡x→−∞x2(2+2x+3x2)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(2+\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } \right)
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞2+2x+3x2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2+\dfrac{2}{x} +\dfrac{3}{x^{2} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x2(2+2x+3x2)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} \left(2+\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞2x2+2x+3=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2} +2x+3=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞4x3−x+2\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2

Correction
lim⁡x→+∞4x3=+∞lim⁡x→+∞−x+2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x+2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x3\blue{x^{3} }.
lim⁡x→+∞4x3−x+2=lim⁡x→+∞x3(4x3−x+2x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{4x^{3} -x+2}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞4x3−x+2=lim⁡x→+∞x3(4x3x3−xx3+2x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{4x^{3} }{x^{3} } -\frac{x}{x^{3} } +\frac{2}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞4x3−x+2=lim⁡x→+∞x3(4−1x2+2x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(4-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞4−1x2+2x3=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\dfrac{1}{x^{^2}} +\dfrac{2}{x^{3} } } & {=} & {4} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x3(4−1x2+2x3)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(4-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{3} } \right)=+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞4x3−x+2=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} -x+2=+\infty

Question 3

lim⁡x→+∞4x2−5x+1\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1

Correction
lim⁡x→+∞4x2=+∞lim⁡x→+∞−5x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x2\blue{x^{2} }.
lim⁡x→+∞4x2−5x+1=lim⁡x→+∞x2(4x2−5x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{4x^{2} -5x+1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞4x2−5x+1=lim⁡x→+∞x2(4x2x2−5xx2+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } -\frac{5x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞4x2−5x+1=lim⁡x→+∞x2(4−5x+1x2)\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(4-\frac{5}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)
lim⁡x→+∞x2=+∞lim⁡x→+∞4−5x+1x2=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\dfrac{5}{x} +\dfrac{1}{x^{2} } } & {=} & {4} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x2(4−5x+1x2)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(4-\frac{5}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞4x2−5x+1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2} -5x+1=+\infty

Question 4

lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7

Correction
lim⁡x→+∞−x3−x2=−∞lim⁡x→+∞2x−7=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-7} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x3\blue{x^{3} }.
lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7=lim⁡x→+∞x3(−x3−x2+2x−7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{-x^{3} -x^{2}+2x-7}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7=lim⁡x→+∞x3(−x3x3+−x2x3+2xx3−7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{-x^{3} }{x^{3} } +\frac{-x^{2}}{x^{3} }+\frac{2x}{x^{3} } -\frac{7}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7=lim⁡x→+∞x3(−1−1x+2x2−7x3)\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}} -\frac{7}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞−1−1x+2x2−7x3=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{7}{x^{3} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x3(−1−1x+2x2−7x3)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(-1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}} -\frac{7}{x^{3} } \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞−x3−x2+2x−7=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{3} -x^{2}+2x-7 =-\infty

Question 5

lim⁡x→−∞2x4−x2+2\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2

Correction
lim⁡x→−∞2x4=+∞lim⁡x→−∞−x2+2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -x^{2}+2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x4\blue{x^{4} }.
lim⁡x→−∞2x4−x2+2=lim⁡x→−∞x4(2x4−x2+2x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{2x^{4} -x^{2}+2}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞2x4−x2+2=lim⁡x→−∞x4(2x4x4−x2x4+2x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{2x^{4} }{x^{4} } -\frac{x^{2}}{x^{4} } +\frac{2}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞2x4−x2+2=lim⁡x→−∞x4(2−1x2+2x4)\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(2-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞x4=+∞lim⁡x→−∞2−1x2+2x4=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\dfrac{1}{x^{2}} +\dfrac{2}{x^{4} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x4(2−1x2+2x4)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(2-\frac{1}{x^{2}} +\frac{2}{x^{4} } \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞2x4−x2+2=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{4} -x^{2}+2 =+\infty