Démontrons que lim⁡x→0ex−1x=1\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 - Exercice 1

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Question 1

Démontrer que lim⁡x→0ex−1x=1\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1

Correction
ff est dérivable en aa si la limite du taux de variation en aa lorsque xx tend vers aa est égale à une valeur finie\red{\text{valeur finie}} notée f′(a)f'\left(a\right).
Autrement dit, ff est dérivable en aa si :
lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim\limits_{x\to a} \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a} =f'\left(a\right)
On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+∞[] 0;+\infty[ par : f(x)=ex−1xf(x)=\frac{e^x-1}{x} et nous souhaitons calculer lim⁡x→0ex−1x\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}.
Posons la fonction h:↦exh:\mapsto e^x et h(0)=e0=1h\left(0\right)=e^0=1. La fonction hh est dérivable en 00 car la fonction exponentielle est dérivable sur R\mathbb{R}.
Ainsi :
lim⁡x→0ex−1x=lim⁡x→0h(x)−h(0)x−0\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}.
D'après la définition : lim⁡x→0h(x)−h(0)x−0=h′(0)\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}=h'\left(0\right).
Pour tout réel xx de l'intervalle ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[, on a alors : h′(x)=exh'\left(x\right)=e^x et h′(0)=e0=1h'\left(0\right)=e^0=1
D'où :
lim⁡x→0ex−1x=lim⁡x→0h(x)−h(0)x−0=h′(0)=1\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}=h'\left(0\right)=1

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