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Limites de fonctions
Calculs de limites quand
x
x
x
tend vers l'infini - Exercice 1
15 min
20
Calculer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 2x+3
x
→
+
∞
lim
2
x
+
3
Correction
lim
x
→
+
∞
2
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } 2x=+\infty
x
→
+
∞
lim
2
x
=
+
∞
et
lim
x
→
+
∞
3
=
3
\lim\limits_{x\to +\infty } 3=3
x
→
+
∞
lim
3
=
3
donc :
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3=+\infty
x
→
+
∞
lim
2
x
+
3
=
+
∞
Question 2
lim
x
→
−
∞
2
x
+
3
\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3
x
→
−
∞
lim
2
x
+
3
Correction
lim
x
→
−
∞
2
x
=
−
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } 2x=-\infty
x
→
−
∞
lim
2
x
=
−
∞
et
lim
x
→
−
∞
3
=
3
\lim\limits_{x\to -\infty } 3=3
x
→
−
∞
lim
3
=
3
donc :
lim
x
→
−
∞
2
x
+
3
=
−
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3=-\infty
x
→
−
∞
lim
2
x
+
3
=
−
∞
Question 3
lim
x
→
−
∞
x
2
−
2
x
+
3
\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -2x+3
x
→
−
∞
lim
x
2
−
2
x
+
3
Correction
lim
x
→
−
∞
x
2
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
−
2
x
+
3
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
x
2
x
→
−
∞
lim
−
2
x
+
3
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
−
∞
x
2
−
2
x
+
3
=
+
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -2x+3=+\infty
x
→
−
∞
lim
x
2
−
2
x
+
3
=
+
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
−
3
x
2
−
4
x
+
1
\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} -4x+1
x
→
+
∞
lim
−
3
x
2
−
4
x
+
1
Correction
lim
x
→
+
∞
−
3
x
2
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
−
4
x
+
1
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -4x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
−
3
x
2
x
→
+
∞
lim
−
4
x
+
1
=
=
−
∞
−
∞
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
+
∞
−
3
x
2
−
4
x
+
1
=
−
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} -4x+1=-\infty
x
→
+
∞
lim
−
3
x
2
−
4
x
+
1
=
−
∞
Question 5
lim
x
→
+
∞
−
3
x
2
+
2
x
\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} +\frac{2}{x}
x
→
+
∞
lim
−
3
x
2
+
x
2
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps, calculons
lim
x
→
+
∞
2
x
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}
x
→
+
∞
lim
x
2
lim
x
→
+
∞
2
=
2
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
2
x
→
+
∞
lim
x
=
=
2
+
∞
}
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
+
∞
2
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0
x
→
+
∞
lim
x
2
=
0
Ainsi :
lim
x
→
+
∞
−
3
x
2
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
2
x
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} } & {=} & {0} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
−
3
x
2
x
→
+
∞
lim
x
2
=
=
−
∞
0
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
+
∞
−
3
x
2
+
2
x
=
−
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} +\frac{2}{x} =-\infty
x
→
+
∞
lim
−
3
x
2
+
x
2
=
−
∞
Question 6
lim
x
→
+
∞
4
x
3
+
2
x
+
3
\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} +2x+3
x
→
+
∞
lim
4
x
3
+
2
x
+
3
Correction
lim
x
→
+
∞
4
x
3
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
4
x
3
x
→
+
∞
lim
2
x
+
3
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
+
∞
4
x
3
+
2
x
+
3
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} +2x+3=+\infty
x
→
+
∞
lim
4
x
3
+
2
x
+
3
=
+
∞
Question 7
lim
x
→
−
∞
−
2
x
3
−
5
x
−
7
x
\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} -5x-\frac{7}{x}
x
→
−
∞
lim
−
2
x
3
−
5
x
−
x
7
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps calculons
lim
x
→
−
∞
−
7
x
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-7}{x}
x
→
−
∞
lim
x
−
7
lim
x
→
−
∞
−
7
=
−
7
lim
x
→
−
∞
x
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -7} & {=} & {-7} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
−
7
x
→
−
∞
lim
x
=
=
−
7
−
∞
}
par quotient:
\text{\red{par quotient:}}
par quotient:
lim
x
→
−
∞
−
7
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-7}{x} =0
x
→
−
∞
lim
x
−
7
=
0
Ainsi :
lim
x
→
−
∞
−
2
x
3
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
−
5
x
−
7
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }-5x-\frac{7}{x} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
−
2
x
3
x
→
−
∞
lim
−
5
x
−
x
7
=
=
+
∞
+
∞
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
−
∞
−
2
x
3
−
5
x
−
7
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} -5x-\frac{7}{x} =+\infty
x
→
−
∞
lim
−
2
x
3
−
5
x
−
x
7
=
+
∞
Question 8
lim
x
→
−
∞
x
+
3
x
+
4
\lim\limits_{x\to -\infty } x+\frac{3}{x+4}
x
→
−
∞
lim
x
+
x
+
4
3
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps calculons
lim
x
→
−
∞
3
x
+
4
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4}
x
→
−
∞
lim
x
+
4
3
lim
x
→
−
∞
3
=
3
lim
x
→
−
∞
x
+
4
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x+4 } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
3
x
→
−
∞
lim
x
+
4
=
=
3
−
∞
}
par quotient:
\text{\red{par quotient:}}
par quotient:
lim
x
→
−
∞
3
x
+
4
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4} =0
x
→
−
∞
lim
x
+
4
3
=
0
Enfin :
lim
x
→
−
∞
x
=
−
∞
lim
x
→
−
∞
3
x
+
4
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4} } & {=} & {0} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
x
x
→
−
∞
lim
x
+
4
3
=
=
−
∞
0
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
−
∞
x
+
3
x
+
4
=
−
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } x+\frac{3}{x+4} =-\infty
x
→
−
∞
lim
x
+
x
+
4
3
=
−
∞
Question 9
lim
x
→
+
∞
(
−
2
x
+
1
)
(
x
2
−
5
)
\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-2x+1\right)\left(x^{2} -5\right)
x
→
+
∞
lim
(
−
2
x
+
1
)
(
x
2
−
5
)
Correction
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
1
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
x
2
−
5
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
1
x
→
+
∞
lim
x
2
−
5
=
=
−
∞
+
∞
}
par produit :
\text{\red{par produit :}}
par produit :
lim
x
→
+
∞
(
−
2
x
+
1
)
(
x
2
−
5
)
=
−
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-2x+1\right)\left(x^{2} -5\right)=-\infty
x
→
+
∞
lim
(
−
2
x
+
1
)
(
x
2
−
5
)
=
−
∞
Question 10
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
4
−
6
x
−
2
\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4-\frac{6}{x-2}
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
4
−
x
−
2
6
Correction
Si on rencontre une forme
N
o
m
b
r
e
∞
\frac{Nombre}{\infty }
∞
N
o
mb
re
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps calculons
lim
x
→
+
∞
−
6
x
−
2
\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{6}{x-2}
x
→
+
∞
lim
−
x
−
2
6
lim
x
→
+
∞
−
6
=
−
6
lim
x
→
+
∞
x
−
2
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -6} & {=} & {-6 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }x-2 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
−
6
x
→
+
∞
lim
x
−
2
=
=
−
6
+
∞
}
par quotient:
\text{\red{par quotient:}}
par quotient:
lim
x
→
+
∞
−
6
x
−
2
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{6}{x-2} =0
x
→
+
∞
lim
−
x
−
2
6
=
0
Enfin :
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
4
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
−
6
x
−
2
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{6}{x-2} } & {=} & {0} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
4
x
→
+
∞
lim
−
x
−
2
6
=
=
−
∞
0
}
par somme :
\text{\red{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
4
−
6
x
−
2
=
−
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4-\frac{6}{x-2} =-\infty
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
4
−
x
−
2
6
=
−
∞