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Calculs de limites quand xx tend vers l'infini - Exercice 1

15 min
20
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞2x+3{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 2x+3

Correction
lim⁡x→+∞2x=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x=+\infty et lim⁡x→+∞3=3\lim\limits_{x\to +\infty } 3=3 donc :
lim⁡x→+∞2x+3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3=+\infty
Question 2

lim⁡x→−∞2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3

Correction
lim⁡x→−∞2x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x=-\infty et lim⁡x→−∞3=3\lim\limits_{x\to -\infty } 3=3 donc :
lim⁡x→−∞2x+3=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3=-\infty
Question 3

lim⁡x→−∞x2−2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -2x+3

Correction
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞−2x+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→−∞x2−2x+3=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -2x+3=+\infty
Question 4

lim⁡x→+∞−3x2−4x+1\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} -4x+1

Correction
lim⁡x→+∞−3x2=−∞lim⁡x→+∞−4x+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -4x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→+∞−3x2−4x+1=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} -4x+1=-\infty
Question 5

lim⁡x→+∞−3x2+2x\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} +\frac{2}{x}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps, calculons lim⁡x→+∞2x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}
lim⁡x→+∞2=2lim⁡x→+∞x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
lim⁡x→+∞2x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0

Ainsi :
lim⁡x→+∞−3x2=−∞lim⁡x→+∞2x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→+∞−3x2+2x=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} +\frac{2}{x} =-\infty
Question 6

lim⁡x→+∞4x3+2x+3\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} +2x+3

Correction
lim⁡x→+∞4x3=+∞lim⁡x→+∞2x+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→+∞4x3+2x+3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} +2x+3=+\infty
Question 7

lim⁡x→−∞−2x3−5x−7x\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} -5x-\frac{7}{x}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps calculons lim⁡x→−∞−7x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-7}{x}
lim⁡x→−∞−7=−7lim⁡x→−∞x=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -7} & {=} & {-7} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient:\text{\red{par quotient:}}
lim⁡x→−∞−7x=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-7}{x} =0

Ainsi :
lim⁡x→−∞−2x3=+∞lim⁡x→−∞−5x−7x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }-5x-\dfrac{7}{x} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→−∞−2x3−5x−7x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} -5x-\frac{7}{x} =+\infty
Question 8

lim⁡x→−∞x+3x+4\lim\limits_{x\to -\infty } x+\frac{3}{x+4}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps calculons lim⁡x→−∞3x+4\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4}
lim⁡x→−∞3=3lim⁡x→−∞x+4=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }x+4 } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient:\text{\red{par quotient:}}
lim⁡x→−∞3x+4=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4} =0

Enfin :
lim⁡x→−∞x=−∞lim⁡x→−∞3x+4=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{3}{x+4} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→−∞x+3x+4=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } x+\frac{3}{x+4} =-\infty
Question 9

lim⁡x→+∞(−2x+1)(x2−5)\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-2x+1\right)\left(x^{2} -5\right)

Correction
lim⁡x→+∞−2x+1=−∞lim⁡x→+∞x2−5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞(−2x+1)(x2−5)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-2x+1\right)\left(x^{2} -5\right)=-\infty
Question 10

lim⁡x→+∞−2x+4−6x−2\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4-\frac{6}{x-2}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps calculons lim⁡x→+∞−6x−2\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{6}{x-2}
lim⁡x→+∞−6=−6lim⁡x→+∞x−2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -6} & {=} & {-6 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }x-2 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient:\text{\red{par quotient:}}
lim⁡x→+∞−6x−2=0\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{6}{x-2} =0

Enfin :
lim⁡x→+∞−2x+4=−∞lim⁡x→+∞−6x−2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\dfrac{6}{x-2} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\text{\red{par somme :}}
lim⁡x→+∞−2x+4−6x−2=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4-\frac{6}{x-2} =-\infty

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