Vérifier qu'une fonction FF est une primitive d'une fonction ff - Exercice 6

10 min
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2−6)e−xf\left(x\right)=\left(x^{2}-6\right)e^{-x} .
Question 1

Déterminer les 33 réels aa, bb et cc pour que F(x)=(ax2+bx+c)e−xF\left(x\right)=\left(ax^{2} +bx+c\right)e^{-x} soit une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=(ax2+bx+c)e−xF\left(x\right)=\left(ax^{2} +bx+c\right)e^{-x}
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=ax2+bx+cu\left(x\right)=ax^{2} +bx+c et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi : u′(x)=2ax+bu'\left(x\right)=2ax+b et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
Il vient alors que :
F′(x)=(2ax+b)e−x+(ax2+bx+c)×(−e−x)F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)e^{-x} +\left(ax^{2} +bx+c\right)\times \left(-e^{-x} \right)
F′(x)=2axe−x+be−x−ax2e−x−bxe−x−ce−xF'\left(x\right)=2axe^{-x} +be^{-x} -ax^{2} e^{-x} -bxe^{-x} -ce^{-x}
F′(x)=(2ax+b−ax2−bx−c)e−xF'\left(x\right)=\left(2ax+b-ax^{2} -bx-c\right)e^{-x}
F′(x)=(−ax2+(2a−b)x+b−c)e−xF'\left(x\right)=\left(-ax^{2} +\left(2a-b\right)x+b-c\right)e^{-x}
Or, il nous faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right), ce qui nous donne ici :
(−ax2+(2a−b)x+b−c)e−x=(x2−6)e−x\left(-ax^{2} +\left(2a-b\right)x+b-c\right)e^{-x}=\left(x^{2}-6\right)e^{-x}

Par identification, on obtient :
{−a=12a−b=0b−c=−6\left\{\begin{array}{ccc} {-a} & {=} & {1} \\ {2a-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{a=−12×(−1)−b=0b−c=−6\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {2\times\left(-1\right)-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.
{a=−1−2−b=0b−c=−6\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {-2-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.
{a=−1−b=2b−c=−6\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {-b} & {=} & {2} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.
{a=−1b=−2−2−c=−6\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {-2} \\ {-2-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.
{a=−1b=−2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {-2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
Finalement : F(x)=(−x2−2x+4)e−xF\left(x\right)=\left(-x^{2} -2x+4\right)e^{-x} est alors une primitive de ff.

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