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Les primitives

Vérifier qu'une fonction FF est une primitive d'une fonction ff - Exercice 2

5 min
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Soit ff la fonction définie sur ]12;+∞[\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[ par f(x)=2x2−4x(2x2+x−1)2f\left(x\right)=\frac{2x^{2} -4x}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }
Question 1

Montrer que la fonction GG définie sur ]12;+∞[\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[ par G(x)=2x22x2+x−1G\left(x\right)=\frac{2x^{2} }{2x^{2} +x-1 } est une primitive de la fonction ff.

Correction
Dans le cas où une primitive GG est donnée, il vous suffit de dériver GG et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : G′(x)=f(x)G'\left(x\right)=f\left(x\right)
On a : G(x)=2x22x2+x−1G\left(x\right)=\frac{2x^{2} }{2x^{2} +x-1 }
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2x2u\left(x\right)=2x^{2} et v(x)=2x2+x−1v\left(x\right)=2x^{2}+x-1.
Ainsi : u′(x)=4xu'\left(x\right)=4x et v′(x)=4x+1v'\left(x\right)=4x+1.
Il vient alors que :
G′(x)=4x×(2x2+x−1)−2x2×(4x+1)(2x2+x−1)2G'\left(x\right)=\frac{4x\times \left(2x^{2} +x-1\right)-2x^{2}\times \left(4x+1\right)}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }
G′(x)=8x3+4x2−4x−(8x3+2x2)(2x2+x−1)2G'\left(x\right)=\frac{8x^{3}+4x^{2}-4x-\left(8x^{3}+2x^{2}\right)}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }
G′(x)=8x3+4x2−4x−8x3−2x2(2x2+x−1)2G'\left(x\right)=\frac{8x^{3}+4x^{2}-4x-8x^{3}-2x^{2}}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }
G′(x)=2x2−4x(2x2+x−1)2G'\left(x\right)=\frac{2x^{2}-4x}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }
Ainsi :
G′(x)=f(x)G'\left(x\right)=f\left(x\right)

On a bien montré que GG est une primitive de ff sur ]12;+∞[\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[.