D'après la question précédente, nous avons déterminer l'expression de
f sous la forme :
f(x)=3x−5+3x+92Nous allons introduire la fonction
g continue sur
]−3;+∞[ définie par :
g(x)=3x+92 . Nous allons calculer une primitive de
g.
Soit
k un réel non nul.
Une primitive de k×uu′ est de la forme k×ln(u) La fonction
g est de la forme
k×uu′ avec
u(x)=3x+9.
De plus,
u′(x)=3 .
g(x)=3x+92 s'écrit alors
g(x)=32×3x+93g(x)=k×uu′ . La valeur de
k ici est
32Or une primitive de
k×uu′ est de la forme
k×ln(u)Il en résulte donc qu'une primitive de
g sur
]−3;+∞[ est :
G(x)=k×ln(u(x)) Ainsi :
G(x)=32ln(3x+9) Nous allons pourvoir calculer les primitives de
f .
On a :
f(x)=3x−5+3x+92f(x)=3x−5+g(x)Ainsi :
F(x)=23x2−5x+G(x)+k où
k∈RF(x)=23x2−5x+32ln(3x+9)+k où
k∈REnfin, on va déduire la primitive de
f vérifiant
F(2)=4.
On peut donc écrire que :
23×22−5×2+32ln(3×2+9)+k=46−10+32ln(15)+k=4−4+32ln(15)+k=4k=4+4−32ln(15)Ainsi :
k=8−32ln(15) Finalement, la primitive de
f vérifiant
F(2)=4 s'écrit alors :
F(x)=23x2−5x+32ln(3x+9)+8−32ln(15)