Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=4x^{2}+7x+1}}$$ et $${\color{brown}{n=2}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=8x+7}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left(8x+7\right)\left(4x^{2}+7x+1\right)^{2}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{8x+7}}\right)\left({\color{red}{4x^{2}+7x+1}}\right)^{\color{brown}{2}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}+c$$ où $$c$$ est une constante réelle.
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}+c$$ où $$c$$ est une constante réelle.
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{4x^{2}+7x+1}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}+c$$ où $$c$$ est une constante réelle.
Ainsi : où $$c$$ est une constante réelle que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(4x^{2}+7x+1\right)^{3} }{3}+c$$ où $$c$$ est une constante réelle.

D'après la question précédente, nous savons que : $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} \left(4x^{2}+7x+1\right)^{3} +c$$ où $$c$$ est une constante réelle
Nous devons chercher la valeur de $$c$$ afin que $$F\left(0\right)=6$$
$$\frac{1}{3} \left(4\times 0^{2} +7\times 0+1\right)^{3} +c=6$$
$$\frac{1}{3} \times 1^{3} +c=6$$
$$\frac{1}{3} \times 1+c=6$$
$$\frac{1}{3} +c=6$$
$$c=6-\frac{1}{3}$$
$$c=\frac{6}{1} -\frac{1}{3}$$
$$c=\frac{6\times 3}{1\times 3} -\frac{1}{3}$$
$$c=\frac{18}{3} -\frac{1}{3}$$
Soit :
La primitive $$F$$ de $$f$$ telle que $$F\left(0\right)=6$$ s'écrit alors $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} \left(4x^{2}+7x+1\right)^{3} +\frac{17}{3}$$