Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)un(x)\red{x\mapsto u'\left(x\right)u^{n} \left(x\right)} - Exercice 3

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Question 1

Déterminer une primitive sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ de la fonction ff continue sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ et définie par f(x)=1x(ln⁡(x))3f\left(x\right)=\frac{1}{x} \left(\ln \left(x\right)\right)^{3}

Correction
Soit n\color{brown}{n} un entier non nul
  • Une primitive de primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    • Soit x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty\right[
    La fonction ff est de la forme u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} avec u(x)=ln⁡(x){\color{red}{u\left(x\right)=\ln \left(x\right)}} et n=3{\color{brown}{n=3}}.
    De plus, u′(x)=1x{\color{blue}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}} .
    f(x)=1x(ln⁡(x))3f\left(x\right)=\frac{1}{x} \left(\ln \left(x\right)\right)^{3} s'écrit alors :
    f(x)=1x(ln⁡(x))3f\left(x\right)={\color{blue}{\frac{1}{x}}}\left({\color{red}{\ln \left(x\right)}}\right)^{\color{brown}{3}} c'est à dire f(x)=u′unf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}
    Or une primitive de u′un{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}} est de la forme 1n+1un+1\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ est :
    F(x)=1n+1(u(x))n+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}
    D'où :
    F(x)=13+1(ln⁡(x))3+1F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{\ln \left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}
    Ainsi :
    F(x)=14(ln⁡(x))4F\left(x\right)=\frac{1}{4} \left(\ln \left(x\right)\right)^{4}
    que l'on peut également écrire F(x)=(ln⁡(x))44F\left(x\right)=\frac{\left(\ln \left(x\right)\right)^{4} }{4}