Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)u^{n} \left(x\right)}$$ - Exercice 3

Soit $$x\in \left]0;+\infty\right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=\ln \left(x\right)}}$$ et $${\color{brown}{n=3}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{1}{x} \left(\ln \left(x\right)\right)^{3}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{blue}{\frac{1}{x}}}\left({\color{red}{\ln \left(x\right)}}\right)^{\color{brown}{3}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]0;+\infty\right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{\ln \left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(\ln \left(x\right)\right)^{4} }{4}$$