Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)u^{n} \left(x\right)}$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x+7}}$$ et $${\color{brown}{n=4}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$$ .
$$f\left(x\right)=3\left(3x+7\right)^{4}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{blue}{3}}\left({\color{red}{3x+7}}\right)^{\color{brown}{4}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{4}}+1} \left({\color{red}{3x+7}}\right)^{{\color{brown}{4}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(3x+7\right)^{5} }{5}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}-6}}$$ et $${\color{brown}{n=8}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}}$$ .
$$f\left(x\right)=4x\left(2x^{2}-6\right)^{8}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\left({\color{red}{2x^{2}-6}}\right)^{\color{brown}{8}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{8}}+1} \left({\color{red}{2x^{2}-6}}\right)^{{\color{brown}{8}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(2x^{2}-6\right)^{9} }{9}$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=7x+2}}$$ et $${\color{brown}{n=3}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=7}}$$ .
$$f\left(x\right)=28\left(7x+2\right)^{3}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\color{purple}{4}\times{\color{blue}{7}}\left({\color{red}{7x+2}}\right)^{\color{brown}{3}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{purple}{k=4}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{4}}}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{7x+2}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}$$
$$F\left(x\right)=\frac{4}{4} \left(7x+2\right)^{4}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+6}}$$ et $${\color{brown}{n=2}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}}$$ .
$$f\left(x\right)=x\left(x^{2}+6\right)^{2}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\color{purple}{\frac{1}{2}}\times{\color{blue}{2x}}\left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)^{\color{brown}{2}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{purple}{k=\frac{1}{2}}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}$$
$$F\left(x\right)=\frac{\frac{1}{2}}{3} \left(x^{2}+6\right)^{3}$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2}-3x}}$$ et $${\color{brown}{n=2}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=10x-3}}$$ .
$$f\left(x\right)=\left(10x-3\right)\left(5x^{2}-3x\right)^{2}$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{10x-3}}\right)\left({\color{red}{5x^{2}-3x}}\right)^{\color{brown}{2}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$
Or une primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$$ est de la forme $$\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$$
D'où :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{5x^{2}-3x}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}$$
Ainsi : que l'on peut également écrire $$F\left(x\right)=\frac{\left(5x^{2}-3x\right)^{3} }{3}$$