Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $\red{x\mapsto u'\left(x\right)u^{n} \left(x\right)}$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=3x+7}}$ et ${\color{brown}{n=4}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$ .
$f\left(x\right)=3\left(3x+7\right)^{4}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)={\color{blue}{3}}\left({\color{red}{3x+7}}\right)^{\color{brown}{4}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{4}}+1} \left({\color{red}{3x+7}}\right)^{{\color{brown}{4}}+1}$
Ainsi : que l'on peut également écrire $F\left(x\right)=\frac{\left(3x+7\right)^{5} }{5}$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}-6}}$ et ${\color{brown}{n=8}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}}$ .
$f\left(x\right)=4x\left(2x^{2}-6\right)^{8}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\left({\color{red}{2x^{2}-6}}\right)^{\color{brown}{8}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{8}}+1} \left({\color{red}{2x^{2}-6}}\right)^{{\color{brown}{8}}+1}$
Ainsi : que l'on peut également écrire $F\left(x\right)=\frac{\left(2x^{2}-6\right)^{9} }{9}$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=7x+2}}$ et ${\color{brown}{n=3}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=7}}$ .
$f\left(x\right)=28\left(7x+2\right)^{3}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\color{purple}{4}\times{\color{blue}{7}}\left({\color{red}{7x+2}}\right)^{\color{brown}{3}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{purple}{k=4}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{4}}}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{7x+2}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}$
$F\left(x\right)=\frac{4}{4} \left(7x+2\right)^{4}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+6}}$ et ${\color{brown}{n=2}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}}$ .
$f\left(x\right)=x\left(x^{2}+6\right)^{2}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\color{purple}{\frac{1}{2}}\times{\color{blue}{2x}}\left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)^{\color{brown}{2}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{purple}{k=\frac{1}{2}}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{x^{2}+6}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}$
$F\left(x\right)=\frac{\frac{1}{2}}{3} \left(x^{2}+6\right)^{3}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2}-3x}}$ et ${\color{brown}{n=2}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=10x-3}}$ .
$f\left(x\right)=\left(10x-3\right)\left(5x^{2}-3x\right)^{2}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{10x-3}}\right)\left({\color{red}{5x^{2}-3x}}\right)^{\color{brown}{2}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{2}}+1} \left({\color{red}{5x^{2}-3x}}\right)^{{\color{brown}{2}}+1}$
Ainsi : que l'on peut également écrire $F\left(x\right)=\frac{\left(5x^{2}-3x\right)^{3} }{3}$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=-2x+1}}$ et ${\color{brown}{n=3}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=-2}}$ .
$f\left(x\right)=-2\left(-2x+1\right)^{3}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)={\color{blue}{-2}}\left({\color{red}{-2x+1}}\right)^{\color{brown}{3}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{-2x+1}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}$
Ainsi : que l'on peut également écrire $F\left(x\right)=\frac{\left(-2x+1\right)^{4} }{4}$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=5x+4}}$ et ${\color{brown}{n=9}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=5}}$ .
$f\left(x\right)=5\left(5x+4\right)^{9}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)={\color{blue}{5}}\left({\color{red}{5x+4}}\right)^{\color{brown}{9}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{9}}+1} \left({\color{red}{5x+4}}\right)^{{\color{brown}{9}}+1}$
Ainsi : que l'on peut également écrire $F\left(x\right)=\frac{\left(5x+4\right)^{10} }{10}$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=2x+3}}$ et ${\color{brown}{n=7}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$ .
$f\left(x\right)=18\left(2x+3\right)^{7}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\color{purple}{9}\times{\color{blue}{2}}\left({\color{red}{2x+3}}\right)^{\color{brown}{7}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{purple}{k=9}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{9}}}{{\color{brown}{7}}+1} \left({\color{red}{2x+3}}\right)^{{\color{brown}{7}}+1}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+x}}$ et ${\color{brown}{n=5}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x+1}}$ .
$f\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x^{2}+x\right)^{5}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{2x+1}}\right)\left({\color{red}{x^{2}+x}}\right)^{\color{brown}{5}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{1}{{\color{brown}{5}}+1} \left({\color{red}{x^{2}+x}}\right)^{{\color{brown}{5}}+1}$
Ainsi : que l'on peut également écrire $F\left(x\right)=\frac{\left(x^{2}+x\right)^{6} }{6}$