La fonction f est de la forme u′un avec u(x)=3x+7 et n=4.
De plus, u′(x)=3 .
f(x)=3(3x+7)4 s'écrit alors :
f(x)=3(3x+7)4 c'est à dire f(x)=u′un
Or une primitive de u′un est de la forme n+11un+1
Il en résulte donc qu'une primitive de f sur R est :
F(x)=n+11(u(x))n+1
D'où :
F(x)=4+11(3x+7)4+1
Ainsi :
F(x)=51(3x+7)5 que l'on peut également écrire F(x)=5(3x+7)52
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=4x(2x2−6)8
Soit
n un entier non nul
Une primitive de primitive de u′un est de la forme n+11un+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=2x2−6 et
n=8.
De plus,
u′(x)=4x .
f(x)=4x(2x2−6)8 s'écrit alors :
f(x)=4x(2x2−6)8 c'est à dire
f(x)=u′unOr une primitive de
u′un est de la forme
n+11un+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+11(u(x))n+1 D'où :
F(x)=8+11(2x2−6)8+1 Ainsi :
F(x)=91(2x2−6)9 que l'on peut également écrire
F(x)=9(2x2−6)93
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=28(7x+2)3
Soient
n un entier non nul et
k un reél non nul
Une primitive de primitive de k×u′un est de la forme n+1kun+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=7x+2 et
n=3.
De plus,
u′(x)=7 .
f(x)=28(7x+2)3 s'écrit alors :
f(x)=4×7(7x+2)3 c'est à dire
f(x)=k×u′un avec
k=4 Or une primitive de
k×u′un est de la forme
n+1kun+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+1k(u(x))n+1 D'où :
F(x)=3+14(7x+2)3+1 F(x)=44(7x+2)4Ainsi :
F(x)=(7x+2)4 4
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=x(x2+6)2
Soient
n un entier non nul et
k un reél non nul
Une primitive de primitive de k×u′un est de la forme n+1kun+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=x2+6 et
n=2.
De plus,
u′(x)=2x .
f(x)=x(x2+6)2 s'écrit alors :
f(x)=21×2x(x2+6)2 c'est à dire
f(x)=k×u′un avec
k=21 Or une primitive de
k×u′un est de la forme
n+1kun+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+1k(u(x))n+1 D'où :
F(x)=2+121(x2+6)2+1 F(x)=321(x2+6)3Ainsi :
F(x)=61(x2+6)3 5
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=(10x−3)(5x2−3x)2
Soit
n un entier non nul
Une primitive de primitive de u′un est de la forme n+11un+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=5x2−3x et
n=2.
De plus,
u′(x)=10x−3 .
f(x)=(10x−3)(5x2−3x)2 s'écrit alors :
f(x)=(10x−3)(5x2−3x)2 c'est à dire
f(x)=u′unOr une primitive de
u′un est de la forme
n+11un+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+11(u(x))n+1 D'où :
F(x)=2+11(5x2−3x)2+1 Ainsi :
F(x)=31(5x2−3x)3 que l'on peut également écrire
F(x)=3(5x2−3x)3Exercice 2
1
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=−2(−2x+1)3
Soit
n un entier non nul
Une primitive de primitive de u′un est de la forme n+11un+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=−2x+1 et
n=3.
De plus,
u′(x)=−2 .
f(x)=−2(−2x+1)3 s'écrit alors :
f(x)=−2(−2x+1)3 c'est à dire
f(x)=u′unOr une primitive de
u′un est de la forme
n+11un+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+11(u(x))n+1 D'où :
F(x)=3+11(−2x+1)3+1 Ainsi :
F(x)=41(−2x+1)4 que l'on peut également écrire
F(x)=4(−2x+1)42
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=5(5x+4)9
Soit
n un entier non nul
Une primitive de primitive de u′un est de la forme n+11un+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=5x+4 et
n=9.
De plus,
u′(x)=5 .
f(x)=5(5x+4)9 s'écrit alors :
f(x)=5(5x+4)9 c'est à dire
f(x)=u′unOr une primitive de
u′un est de la forme
n+11un+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+11(u(x))n+1 D'où :
F(x)=9+11(5x+4)9+1 Ainsi :
F(x)=101(5x+4)10 que l'on peut également écrire
F(x)=10(5x+4)103
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=18(2x+3)7
Soient
n un entier non nul et
k un reél non nul
Une primitive de primitive de k×u′un est de la forme n+1kun+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=2x+3 et
n=7.
De plus,
u′(x)=2 .
f(x)=18(2x+3)7 s'écrit alors :
f(x)=9×2(2x+3)7 c'est à dire
f(x)=k×u′un avec
k=9 Or une primitive de
k×u′un est de la forme
n+1kun+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+1k(u(x))n+1 D'où :
F(x)=7+19(2x+3)7+1 Ainsi :
F(x)=89(2x+3)8 4
Déterminer une primitive sur
R de la fonction
f continue sur
R et définie par
f(x)=(2x+1)(x2+x)5
Soit
n un entier non nul
Une primitive de primitive de u′un est de la forme n+11un+1Soit
x∈R La fonction
f est de la forme
u′un avec
u(x)=x2+x et
n=5.
De plus,
u′(x)=2x+1 .
f(x)=(2x+1)(x2+x)5 s'écrit alors :
f(x)=(2x+1)(x2+x)5 c'est à dire
f(x)=u′unOr une primitive de
u′un est de la forme
n+11un+1Il en résulte donc qu'une primitive de
f sur
R est :
F(x)=n+11(u(x))n+1 D'où :
F(x)=5+11(x2+x)5+1 Ainsi :
F(x)=61(x2+x)6 que l'on peut également écrire
F(x)=6(x2+x)6Connecte-toi pour accéder à tes fiches !Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte.
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