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Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)sin⁡(u(x))\red{x\mapsto u'\left(x\right)\sin \left(u\left(x\right)\right)} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=2xsin⁡(x2+9)f\left(x\right)=2x\sin\left(x^{2}+9\right)

Correction
  • Une primitive de u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme −cos⁡(u)-\cos\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin\left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=x2+9{\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+9}}.
    De plus, u′(x)=2x{\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}} .
    f(x)=2xsin⁡(x2+9)f\left(x\right)={\color{blue}{2x}}\sin \left({\color{red}{x^{2}+9}}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′sin⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme −cos⁡(u)-\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−cos⁡(u)F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−cos⁡(x2+9)F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{x^{2}+9}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=8xsin⁡(4x2−1)f\left(x\right)=8x\sin\left(4x^{2}-1\right)

    Correction
  • Une primitive de u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme −cos⁡(u)-\cos\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin\left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=4x2−1{\color{red}{u\left(x\right)=4x^{2}-1}}.
    De plus, u′(x)=8x{\color{blue}{u'\left(x\right)=8x}} .
    f(x)=4xsin⁡(4x2−1)f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\sin \left({\color{red}{4x^{2}-1}}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′sin⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme −cos⁡(u)-\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−cos⁡(u)F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−cos⁡(4x2−1)F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{4x^{2}-1}}\right)

    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(3x2+6)sin⁡(x3+6x+2)f\left(x\right)=\left(3x^{2}+6\right)\sin\left(x^{3}+6x+2\right)

    Correction
  • Une primitive de u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme −cos⁡(u)-\cos\left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin\left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=x3+6x+2{\color{red}{u\left(x\right)=x^{3}+6x+2}}.
    De plus, u′(x)=3x2+6{\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}+6}} .
    f(x)=(3x2+6)sin⁡(x3+6x+2)f\left(x\right)=\left({\color{blue}{3x^{2}+6}}\right)\sin \left({\color{red}{x^{3}+6x+2}}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′sin⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′sin⁡(u){\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme −cos⁡(u)-\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−cos⁡(u)F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−cos⁡(x3+6x+2)F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{x^{3}+6x+2}}\right)

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