Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $\red{x\mapsto u'\left(x\right)\sin \left(u\left(x\right)\right)}$

Nous avons $f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{4}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{6}}} \right)$ avec ${\color{red}{a=4}}$ et ${\color{blue}{b=\frac{\pi }{6}}}$
Or une primitive de $\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$ est de la forme $-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Ainsi :

Nous avons $f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{-5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{2}}} \right)$ avec ${\color{red}{a=-5}}$ et ${\color{blue}{b=\frac{\pi }{2}}}$
Or une primitive de $\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$ est de la forme $-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
$F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{\left(-5\right)}}\cos \left({\color{red}{-5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{2}}}\right)$
Ainsi :

Nous avons $f\left(x\right)={\color{purple}{6}}\sin \left({\color{red}{7}}x+{\color{blue}{\frac{2\pi }{3}}} \right)$ avec ${\color{red}{a=7}}$ ; ${\color{blue}{b=\frac{2\pi }{3}}}$ et ${\color{purple}{k=6}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$ est de la forme $-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Ainsi :

Nous avons $f\left(x\right)={\color{purple}{8}}\sin \left({\color{red}{9}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{3}}} \right)$ avec ${\color{red}{a=9}}$ ; ${\color{blue}{b=\frac{\pi }{3}}}$ et ${\color{purple}{k=8}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$ est de la forme $-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}\sin\left({\color{red}{u}}\right)$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+9}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}}$ .
$f\left(x\right)={\color{blue}{2x}}\sin \left({\color{red}{x^{2}+9}}\right)$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)$ est de la forme $-\cos \left({\color{red}{u}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{u}}\right)$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}\sin\left({\color{red}{u}}\right)$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=4x^{2}-1}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=8x}}$ .
$f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\sin \left({\color{red}{4x^{2}-1}}\right)$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)$ est de la forme $-\cos \left({\color{red}{u}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{u}}\right)$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}\sin\left({\color{red}{u}}\right)$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=x^{3}+6x+2}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}+6}}$ .
$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{3x^{2}+6}}\right)\sin \left({\color{red}{x^{3}+6x+2}}\right)$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}\sin \left({\color{red}{u}}\right)$ est de la forme $-\cos \left({\color{red}{u}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=-\cos \left({\color{red}{u}}\right)$
Ainsi :