Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)sin⁡(u(x))\red{x\mapsto u'\left(x\right)\sin \left(u\left(x\right)\right)} - Exercice 1

10 min
25
Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=sin⁡(4x+π6)f\left(x\right)=\sin \left(4x+\frac{\pi }{6} \right)

Correction
Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=sin⁡(4x+π6)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{4}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{6}}} \right) avec a=4{\color{red}{a=4}} et b=π6{\color{blue}{b=\frac{\pi }{6}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−14cos⁡(4x+π6)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{4}}\cos \left({\color{red}{4}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{6}}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=sin⁡(−5x+π2)f\left(x\right)=\sin \left(-5x+\frac{\pi }{2} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=sin⁡(−5x+π2)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{-5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{2}}} \right) avec a=−5{\color{red}{a=-5}} et b=π2{\color{blue}{b=\frac{\pi }{2}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    F(x)=−1(−5)cos⁡(−5x+π2)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{\left(-5\right)}}\cos \left({\color{red}{-5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{2}}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=15cos⁡(−5x+π2)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{5}}\cos \left({\color{red}{-5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{2}}}\right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=6sin⁡(7x+2π3)f\left(x\right)=6\sin \left(7x+\frac{2\pi }{3} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul ; b{\color{blue}{b}} un réel et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=6sin⁡(7x+2π3)f\left(x\right)={\color{purple}{6}}\sin \left({\color{red}{7}}x+{\color{blue}{\frac{2\pi }{3}}} \right) avec a=7{\color{red}{a=7}} ; b=2π3{\color{blue}{b=\frac{2\pi }{3}}} et k=6{\color{purple}{k=6}}
    Or une primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−kacos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−67cos⁡(7x+2π3)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{6}}}{\color{red}{7}}\cos \left({\color{red}{7}}x+{\color{blue}{\frac{2\pi }{3}}}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=8sin⁡(9x+π3)f\left(x\right)=8\sin \left(9x+\frac{\pi }{3} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul ; b{\color{blue}{b}} un réel et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=8sin⁡(9x+π3)f\left(x\right)={\color{purple}{8}}\sin \left({\color{red}{9}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{3}}} \right) avec a=9{\color{red}{a=9}} ; b=π3{\color{blue}{b=\frac{\pi }{3}}} et k=8{\color{purple}{k=8}}
    Or une primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−kacos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−89cos⁡(9x+π3)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{8}}}{\color{red}{9}}\cos \left({\color{red}{9}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{3}}}\right)