Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)eu(x)\red{x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} } - Exercice 3

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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=−4xe5x2+6f\left(x\right)=-4xe^{5x^{2} +6}

Correction
  • Une primitive de k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme k×eu{\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=5x2+6{\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2} +6}}.
    De plus, u′(x)=10x{\color{blue}{u'\left(x\right)=10x}} .
    f(x)=−410×10xe3x2+1f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{-4}{10}}}\times{\color{blue}{10x}}e^{{\color{red}{3x^{2}+1}}}
    f(x)=−25×10xe3x2+1f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{-2}{5}}}\times{\color{blue}{10x}}e^{{\color{red}{3x^{2}+1}}} s'écrit alors
    f(x)=k×u′euf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times {\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme k×eu{\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=k×euF\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=−25e5x2+6F\left(x\right)={\color{purple}{-\frac{2}{5}}}e^{{\color{red}{5x^{2} +6}}}

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(2x−3)e2x2−6x+1f\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{2x^{2} -6x+1}

    Correction
  • Une primitive de k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme k×eu{\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=2x2−6x+1{\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2} -6x+1}}.
    De plus, u′(x)=4x−6{\color{blue}{u'\left(x\right)=4x-6}} .
    f(x)=12×(4x−6)e2x2−6x+1f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{2}}}\times\left({\color{blue}{4x-6}}\right)e^{{\color{red}{2x^{2} -6x+1}}}
    f(x)=12×u′euf\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{2}}}\times {\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de k×u′eu{\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme k×eu{\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=k×euF\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=12e2x2−6x+1F\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{2}}}e^{{\color{red}{2x^{2} -6x+1}}}