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Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)eu(x)\red{x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} } - Exercice 2

9 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=3x2ex3+7f\left(x\right)=3x^{2}e^{x^{3} +7}

Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=x3+7{\color{red}{u\left(x\right)=x^{3} +7}}.
    De plus, u′(x)=3x2{\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}}} .
    f(x)=3x2ex3+7f\left(x\right)={\color{blue}{3x^{2}}}e^{{\color{red}{x^{3} +7}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=ex3+7F\left(x\right)=e^{{\color{red}{x^{3} +7}}}
    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=12xe6x2+9f\left(x\right)=12xe^{6x^{2}+9}

    Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=6x2+9{\color{red}{u\left(x\right)=6x^{2} +9}}.
    De plus, u′(x)=12x{\color{blue}{u'\left(x\right)=12x}} .
    f(x)=12xe6x2+9f\left(x\right)={\color{blue}{12x}}e^{{\color{red}{6x^{2}+9}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=e6x2+9F\left(x\right)=e^{{\color{red}{6x^{2} +9}}}
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(8x−3)e4x2−3xf\left(x\right)=\left(8x-3\right)e^{4x^{2} -3x}

    Correction
  • Une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} avec u(x)=4x2−3x{\color{red}{u\left(x\right)=4x^{2} -3x}}.
    De plus, u′(x)=8x−3{\color{blue}{u'\left(x\right)=8x-3}} .
    f(x)=(8x−3)e4x2−3xf\left(x\right)=\left({\color{blue}{8x-3}}\right)e^{{\color{red}{4x^{2} -3x}}} s'écrit alors
    f(x)=u′euf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}
    Or une primitive de u′eu{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}} est de la forme eue^{{\color{red}{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=euF\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}
    Ainsi :
    F(x)=e4x2−3xF\left(x\right)=e^{{\color{red}{4x^{2}-3x}}}

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