Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $\red{x\mapsto u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)} }$

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2} +1}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}}$ .
$f\left(x\right)={\color{blue}{6x}}e^{{\color{red}{3x^{2}+1}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=5x^{2} +6}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=10x}}$ .
$f\left(x\right)={\color{blue}{10x}}e^{{\color{red}{5x^{2}+6}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2} +5x}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x+5}}$ .
$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{2x+5}}\right)e^{{\color{red}{x^{2} +5x}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{3} +9x^{2}-1}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=9x^{2}+18x}}$ .
$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{9x^{2}+18x}}\right)e^{{\color{red}{3x^{3} +9x^{2}-1}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}}$ .
$f\left(x\right)=8xe^{2x^{2} }$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{purple}{2}}\times{\color{blue}{4x}}e^{{\color{red}{2x^{2}}}}$
$f\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ . La valeur de ${\color{purple}{k}}$ ici est ${\color{purple}{2}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme ${\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=x^{3} +7}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}}}$ .
$f\left(x\right)={\color{blue}{3x^{2}}}e^{{\color{red}{x^{3} +7}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=6x^{2} +9}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=12x}}$ .
$f\left(x\right)={\color{blue}{12x}}e^{{\color{red}{6x^{2}+9}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=4x^{2} -3x}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=8x-3}}$ .
$f\left(x\right)=\left({\color{blue}{8x-3}}\right)e^{{\color{red}{4x^{2} -3x}}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$
Or une primitive de ${\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme $e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :