Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)cos⁡(u(x))\red{x\mapsto u'\left(x\right)\cos \left(u\left(x\right)\right)} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=4xcos⁡(2x2+5)f\left(x\right)=4x\cos \left(2x^{2}+5\right)

Correction
  • Une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=2x2+5{\color{red}{u\left(x\right)=2x^{2}+5 }}.
    De plus, u′(x)=4x{\color{blue}{u'\left(x\right)=4x}} .
    f(x)=4xcos⁡(2x2+5)f\left(x\right)={\color{blue}{4x}}\cos \left({\color{red}{2x^{2}+5}}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′cos⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=sin⁡(u)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=sin⁡(2x2+5)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{2x^{2}+5}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(3x2+1)cos⁡(x3+x+2)f\left(x\right)=\left(3x^{2}+1\right)\cos \left(x^{3}+x+2\right)

    Correction
  • Une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=x3+x+2{\color{red}{u\left(x\right)=x^{3}+x+2 }}.
    De plus, u′(x)=3x2+1{\color{blue}{u'\left(x\right)=3x^{2}+1}} .
    f(x)=(3x2+1)cos⁡(x3+x+2)f\left(x\right)=\left({\color{blue}{3x^{2}+1}}\right)\cos \left({\color{red}{x^{3}+x+2 }}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′cos⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=sin⁡(u)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=sin⁡(x3+x+2)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{x^{3}+x+2 }}\right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(6x+5)cos⁡(3x2+5x−9)f\left(x\right)=\left(6x+5\right)\cos \left(3x^{2}+5x-9\right)

    Correction
  • Une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=3x2+5x−9{\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2}+5x-9}}.
    De plus, u′(x)=6x+5{\color{blue}{u'\left(x\right)=6x+5}} .
    f(x)=(6x+5)cos⁡(3x2+5x−9)f\left(x\right)=\left({\color{blue}{6x+5}}\right)\cos \left({\color{red}{3x^{2}+5x-9 }}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′cos⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=sin⁡(u)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=sin⁡(3x2+5x−9)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{3x^{2}+5x-9}}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=6x2cos⁡(2x3−7)f\left(x\right)=6x^{2}\cos \left(2x^{3}-7\right)

    Correction
  • Une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) avec u(x)=2x3−7{\color{red}{u\left(x\right)=2x^{3}-7 }}.
    De plus, u′(x)=6x2{\color{blue}{u'\left(x\right)=6x^{2}}} .
    f(x)=6x2cos⁡(2x3−7)f\left(x\right)={\color{blue}{6x^{2}}}\cos \left({\color{red}{2x^{3}-7}}\right) s'écrit alors
    f(x)=u′cos⁡(u)f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right)
    Or une primitive de u′cos⁡(u){\color{blue}{u'}}\cos \left({\color{red}{u}}\right) est de la forme sin⁡(u)\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=sin⁡(u)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{u}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=sin⁡(2x3−7)F\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{2x^{3}-7}}\right)

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