Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)un(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u^{n} \left(x\right)}} - Exercice 4

5 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]−π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[ de la fonction ff continue sur ]−π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[ et définie par f(x)=4sin(x) cos3(x)f\left(x\right)=\frac{4{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}}^{\mathrm{3}}\left(x\right)} .

Correction
Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −k(n−1)un−1\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]−π2;π2[x\in \left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[
    Soit f(x)=4sin(x) cos3(x)f\left(x\right)=\frac{4{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}}^{\mathrm{3}}\left(x\right)} que l'on peut écrire sous la forme : f(x)=4sin(x) (cos(x) )3f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{4}\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)}^3}
    La fonction ff est de la forme k×u′un{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=cos(x) {\color{red}{u\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}} et n=3{\color{brown}{n=3}}
    De plus, u′(x)=sin(x) {\color{blue}{u'\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}} .
    f(x)=4×sin(x) (cos(x) )3f\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times\frac{{\color{blue}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ } }}}{\left({\color{red}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ } }}\right)^{{\color{brown}{3}}}} s'écrit alors :
    f(x)=4×u′unf\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=3{\color{brown}{n=3}}
    Or une primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −k(n−1)un−1\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[ est :
    F(x)=−k(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−4(3−1)(cos(x) )3−1F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{4}}}{\left({\color{brown}{3}}-1\right)\left(\color{red}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ } }\right)^{{\color{brown}{3}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−42(cos(x) )2F\left(x\right)=\frac{-4}{2\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)^{2} }
    ainsi : F(x)=−2(cos(x) )2F\left(x\right)=\frac{-2}{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)^{2} }
    Question 2

    u′{\color{purple}{u'}}

    Correction
    f(x)=sin(x) cos3(x)f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\mathrm{cos}}^{\mathrm{3}}\left(x\right)}
    f(x)=4sin(x) (cos(x) )3f\left(x\right)=\frac{{\mathrm{4}\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right)}^3}