Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)un(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u^{n} \left(x\right)}} - Exercice 3

5 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ et définie par f(x)=5(4x+12)2f\left(x\right)=\frac{5}{\left(4x+12\right)^{2}} .

Correction
Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de k×u′un{{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme k×−1(n−1)un−1{{\color{purple}{k}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]−3;+∞[x\in \left]-3;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′un{{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=4x+12{\color{red}{u\left(x\right)=4x+12}} et n=2{\color{brown}{n=2}} .
    De plus, u′(x)=4{\color{blue}{u'\left(x\right)=4}} .
    f(x)=5(4x+12)2f\left(x\right)=\frac{5}{\left(4x+12\right)^{2}} s'écrit alors :
    f(x)=54×4(4x+12)2f\left(x\right)={{\color{purple}{\frac{5}{4}}}}\times\frac{{\color{blue}{4}}}{\left({\color{red}{4x+12}}\right)^{{\color{brown}{2}}}}
    f(x)=k×u′unf\left(x\right)={{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=2{\color{brown}{n=2}} et k=54{{\color{purple}{k=\frac{5}{4}}}}
    Or une primitive de k×u′un{{\color{purple}{k}}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme k×−1(n−1)un−1{{\color{purple}{k}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−3;+∞[\left]-3;+\infty \right[ est :
    F(x)=k×−1(n−1)un−1F\left(x\right)={{\color{purple}{k}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=54×−1(2−1)(4x+12)2−1F\left(x\right)={{\color{purple}{\frac{5}{4}}}}\times\frac{-1}{\left({\color{brown}{2}}-1\right)\left(\color{red}{4x+12}\right)^{{\color{brown}{2}-1}} }
    F(x)=54×−11×(4x+12)1F\left(x\right)={{\color{purple}{\frac{5}{4}}}}\times\frac{-1}{1\times\left(4x+12\right)^{1} }
    Ainsi :
    F(x)=−54(4x+12)F\left(x\right)=\frac{-5}{4\left(4x+12\right) }