Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)un(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u^{n} \left(x\right)}} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]74;+∞[\left]\frac{7}{4};+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]74;+∞[\left]\frac{7}{4};+\infty \right[ et définie par f(x)=4(4x−7)2f\left(x\right)=\frac{4}{\left(4x-7\right)^{2}}

Correction
Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]74;+∞[x\in \left]\frac{7}{4};+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=4x−7{\color{red}{u\left(x\right)=4x-7}} et n=2{\color{brown}{n=2}}
    De plus, u′(x)=4{\color{blue}{u'\left(x\right)=4}} .
    f(x)=4(4x−7)2f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{4}}}{\left({\color{red}{4x-7}}\right)^{{\color{brown}{2}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=2{\color{brown}{n=2}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]74;+∞[\left]\frac{7}{4};+\infty \right[ est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(2−1)(4x−7)2−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{2}}-1\right)\left(\color{red}{4x-7}\right)^{{\color{brown}{2}-1}} }
    F(x)=−11×(4x−7)1F\left(x\right)=\frac{-1}{1\times\left(4x-7\right)^{1} }
    Ainsi :
    F(x)=−14x−7F\left(x\right)=\frac{-1}{4x-7 }

    Question 2

    Déterminer une primitive sur ]98;+∞[\left]\frac{9}{8};+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]98;+∞[\left]\frac{9}{8};+\infty \right[ et définie par f(x)=8(8x−9)6f\left(x\right)=\frac{8}{\left(8x-9\right)^{6}}

    Correction
    Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]98;+∞[x\in \left]\frac{9}{8};+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=8x−9{\color{red}{u\left(x\right)=8x-9}} et n=6{\color{brown}{n=6}}
    De plus, u′(x)=8{\color{blue}{u'\left(x\right)=8}} .
    f(x)=8(8x−9)6f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{8}}}{\left({\color{red}{8x-9}}\right)^{{\color{brown}{6}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=6{\color{brown}{n=6}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]98;+∞[\left]\frac{9}{8};+\infty \right[ est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(6−1)(8x−9)6−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{6}}-1\right)\left(\color{red}{8x-9}\right)^{{\color{brown}{6}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−15(8x−9)5F\left(x\right)=\frac{-1}{5\left(8x-9\right)^{5} }
    Question 3

    Déterminer une primitive sur ]2;+∞[\left]2;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]2;+∞[\left]2;+\infty \right[ et définie par f(x)=1(x−2)3f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-2\right)^{3}}

    Correction
    Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]2;+∞[x\in \left]2;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=x−2{\color{red}{u\left(x\right)=x-2}} et n=3{\color{brown}{n=3}}
    De plus, u′(x)=1{\color{blue}{u'\left(x\right)=1}} .
    f(x)=1(x−2)3f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{1}}}{\left({\color{red}{x-2}}\right)^{{\color{brown}{3}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=3{\color{brown}{n=3}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]2;+∞[\left]2;+\infty \right[ est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(3−1)(x−2)3−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{3}}-1\right)\left(\color{red}{x-2}\right)^{{\color{brown}{3}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−12(x−2)2F\left(x\right)=\frac{-1}{2\left(x-2\right)^{2} }
    Question 4

    Déterminer une primitive sur ]13;+∞[\left]\frac{1}{3};+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]13;+∞[\left]\frac{1}{3};+\infty \right[ et définie par f(x)=−3(−3x+1)9f\left(x\right)=\frac{-3}{\left(-3x+1\right)^{9}}

    Correction
    Soit x∈]13;+∞[x\in \left]\frac{1}{3};+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=−3x+1{\color{red}{u\left(x\right)=-3x+1}} et n=9{\color{brown}{n=9}}
    De plus, u′(x)=−3{\color{blue}{u'\left(x\right)=-3}} .
    f(x)=−3(−3x+1)9f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{-3}}}{\left({\color{red}{-3x+1}}\right)^{{\color{brown}{9}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=9{\color{brown}{n=9}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]13;+∞[\left]\frac{1}{3};+\infty \right[ est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(9−1)(−3x+1)9−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{9}}-1\right)\left(\color{red}{-3x+1}\right)^{{\color{brown}{9}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−18(−3x+1)8F\left(x\right)=\frac{-1}{8\left(-3x+1\right)^{8} }