Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)u(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ et définie par f(x)=22x−12f\left(x\right)=\frac{2}{2x-12}

Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    • Soit x∈]6;+∞[x\in \left]6;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=2x−12{\color{red}{u\left(x\right)=2x-12}}.
    De plus, u′(x)=2{\color{blue}{u'\left(x\right)=2}} .
    f(x)=22x−12f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{2x-12}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ est :
    F(x)=ln⁡(∣u(x)∣)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(∣2x−12∣)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|2x-12|}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur ]4;+∞[\left]4;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]4;+∞[\left]4;+\infty \right[ et définie par f(x)=55x−20f\left(x\right)=\frac{5}{5x-20}

    Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    • Soit x∈]4;+∞[x\in \left]4;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=5x−20{\color{red}{u\left(x\right)=5x-20}}.
    De plus, u′(x)=5{\color{blue}{u'\left(x\right)=5}} .
    f(x)=55x−20f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{5}}}{{\color{red}{5x-20}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]4;+∞[\left]4;+\infty \right[ est :
    F(x)=ln⁡(∣u(x)∣)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(∣5x−20∣)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|5x-20|}}\right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=6x3x2+8f\left(x\right)=\frac{6x}{3x^{2}+8}

    Correction
  • Une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=3x2+8{\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2}+8}}.
    De plus, u′(x)=6x{\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}} .
    f(x)=6x3x2+8f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{6x}}}{{\color{red}{3x^{2}+8}}} s'écrit alors
    f(x)=u′(x)u(x)f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}
    Or une primitive de u′u\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme ln⁡(∣u∣)\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=ln⁡(∣u(x)∣)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=ln⁡(∣3x2+8∣)F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|3x^{2}+8|}}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur ]116;+∞[\left]\frac{11}{6};+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]116;+∞[\left]\frac{11}{6};+\infty \right[ et définie par f(x)=306x−11f\left(x\right)=\frac{30}{6x-11}

    Correction
    Soit k{\color{purple}{k}} un réel non nul.
  • Une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme k×ln⁡(∣u∣){\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    • Soit x∈]116;+∞[x\in \left]\frac{11}{6};+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} avec u(x)=6x−11{\color{red}{u\left(x\right)=6x-11}}.
    De plus, u′(x)=6{\color{blue}{u'\left(x\right)=6}} .
    f(x)=306x−11f\left(x\right)=\frac{30}{6x-11} s'écrit alors
    f(x)=5×66x−11f\left(x\right)={\color{purple}{5}}\times\frac{{\color{blue}{6}}}{{\color{red}{6x-11}}}
    f(x)=k×u′uf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 5{\color{purple}{5}}
    Or une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}} est de la forme k×ln⁡(∣u∣){\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]116;+∞[\left]\frac{11}{6};+\infty \right[ est :
    F(x)=k×ln⁡(∣u(x)∣)F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=5ln⁡(∣6x−11∣)F\left(x\right)={\color{purple}{5}}\ln \left({\color{red}{|6x-11|}}\right)