Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}}$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \left]-\frac{3}{4};+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=4x+3}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=4}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{4}}}{{\color{red}{4x+3}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\frac{3}{4};+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=x^{2}+6}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2x}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2x}}}{{\color{red}{x^{2}+6}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]5;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x-10}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{6}{2x-10}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{purple}{3}}\times\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{2x-10}}}$$
$$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ . La valeur de $${\color{purple}{k}}$$ ici est $${\color{purple}{3}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]5;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\infty;2 \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=12-6x}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=-6}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{-6}}}{{\color{red}{12-6x}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty;2 \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]\frac{5}{3};+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3x-5}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=3}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{12}{3x-5}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times\frac{{\color{blue}{3}}}{{\color{red}{3x-5}}}$$
$$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ . La valeur de $${\color{purple}{k}}$$ ici est $${\color{purple}{4}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $${\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{|u|}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]\frac{5}{3};+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{|u\left(x\right)|}}\right)$$
Ainsi :