Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)u(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{\sqrt{u\left(x\right)} }} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ et définie par f(x)=82x−12f\left(x\right)=\frac{8}{\sqrt{2x-12} }

Correction
  • Une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} est de la forme k×2u{\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}
    • Soit x∈]6;+∞[x\in \left]6;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′u{\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} avec u(u)=2x−12{\color{red}{u\left(u\right)=2x-12}}.
    De plus, u′(x)=2{\color{blue}{u'\left(x\right)=2}} .
    f(x)=82x−12f\left(x\right)=\frac{8}{\sqrt{2x-12} } s'écrit alors
    f(x)=4×22x−12f\left(x\right)={\color{purple}{4}} \times\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{\sqrt{2x-12} }}}
    f(x)=k×u′uf\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 4{\color{purple}{4}}
    Or une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} est de la forme k×2u{\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ est :
    F(x)=k×2u(x)F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u\left(x\right)}}}
    Ainsi :
    F(x)=4×22x−12F\left(x\right)={\color{purple}{4}}\times2\sqrt{\color{red}{{2x-12}}}
    que l'on écrit : F(x)=82x−12F\left(x\right)=8\sqrt{2x-12}
    Question 2

    Déterminer une primitive sur ]3;+∞[\left]3;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]3;+∞[\left]3;+\infty \right[ et définie par f(x)=73x−9f\left(x\right)=\frac{7}{\sqrt{3x-9} }

    Correction
  • Une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} est de la forme k×2u{\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}
    • Soit x∈]3;+∞[x\in \left]3;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′u{\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} avec u(u)=3x−9{\color{red}{u\left(u\right)=3x-9}}.
    De plus, u′(x)=3{\color{blue}{u'\left(x\right)=3}} .
    f(x)=73x−9f\left(x\right)=\frac{7}{\sqrt{3x-9} } s'écrit alors
    f(x)=73×33x−9f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{7}{3}}} \times\frac{{\color{blue}{3}}}{{\color{red}{\sqrt{3x-9} }}}
    f(x)=k×u′uf\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 73{\color{purple}{\frac{7}{3}}}
    Or une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} est de la forme k×2u{\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]3;+∞[\left]3;+\infty \right[ est :
    F(x)=k×2u(x)F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u\left(x\right)}}}
    Ainsi :
    F(x)=73×23x−9F\left(x\right)={\color{purple}{\frac{7}{3}}}\times2\sqrt{\color{red}{{3x-9}}}
    que l'on écrit : F(x)=1433x−9F\left(x\right)=\frac{14}{3}\sqrt{3x-9}
    Question 3

    Déterminer une primitive sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[et définie par f(x)=x−12x2+4x+10f\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{2x^{2}+4x+10} }

    Correction
  • Une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} est de la forme k×2u{\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}
    • Soit x∈]−∞;+∞[x\in \left]-\infty;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme k×u′u{\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} avec u(u)=2x2−4x+10{\color{red}{u\left(u\right)=2x^{2}-4x+10}}.
    De plus, u′(x)=4x−4{\color{blue}{u'\left(x\right)=4x-4}} .
    f(x)=4x−42x2−4x+10f\left(x\right)=\frac{4x-4}{\sqrt{2x^{2}-4x+10} } s'écrit alors
    f(x)=14×4x−42x2−4x+10f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{4}}} \times\frac{{\color{blue}{4x-4}}}{{\color{red}{\sqrt{2x^{2}-4x+10} }}}
    f(x)=k×u′uf\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} . La valeur de k{\color{purple}{k}} ici est 14{\color{purple}{\frac{1}{4}}}
    Or une primitive de k×u′u{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{\sqrt{u}}}} est de la forme k×2u{\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty \right[ est :
    F(x)=k×2u(x)F\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times2\sqrt{\color{red}{{u\left(x\right)}}}
    Ainsi :
    F(x)=14×22x2−4x+10F\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{4}}}\times2\sqrt{\color{red}{{2x^{2}-4x+10}}}
    que l'on écrit : F(x)=122x2−4x+10F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2x^{2}-4x+10}