Les primitives

Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦eax+b\red{x\mapsto e^{ax+b} } - Exercice 2

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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

a(x)=5e6x+2a\left(x\right)=5e^{6x+2}

Correction
  • Une primitive de nombre×eax+b\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}} est nombrea×eax+b\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
    • Soit a(x)=5e6x+2a\left(x\right)=5e^{{\color{red}{6}}x+{\color{blue}{2}}} ainsi :
    A(x)=56e6x+2+kA\left(x\right)=\frac{5}{{\color{red}{{\color{red}{6}}}}} e^{{\color{red}{6}}x+{\color{blue}{2}}} +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    b(x)=7e2x−1b\left(x\right)=7e^{2x-1}

    Correction
  • Une primitive de nombre×eax+b\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}} est nombrea×eax+b\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
    • Soit b(x)=7e2x−1b\left(x\right)=7e^{{\color{red}{2}}x-{\color{blue}{1}}} ainsi :
    B(x)=72e2x−1+kB\left(x\right)=\frac{7}{{\color{red}{{\color{red}{2}}}}} e^{{\color{red}{2}}x-{\color{blue}{1}}} +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    c(x)=8e−x+6c\left(x\right)=8e^{-x+6}

    Correction
  • Une primitive de nombre×eax+b\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}} est nombrea×eax+b\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
    • Soit c(x)=8e−1x+6c\left(x\right)=8e^{{\color{red}{-1}}x+{\color{blue}{6}}} ainsi :
    c(x)=8−1e−1x+6c\left(x\right)=\frac{8}{-1}e^{{\color{red}{-1}}x+{\color{blue}{6}}}
    C(x)=−8e−x+6+kC\left(x\right)=-8e^{{\color{red}{-}}x+{\color{blue}{6}}} +k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    d(x)=7e−4x−3d\left(x\right)=7e^{-4x-3}

    Correction
  • Une primitive de nombre×eax+b\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}} est nombrea×eax+b\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
    • Soit d(x)=7e−4x−3d\left(x\right)=7e^{{\color{red}{-4}}x-{\color{blue}{3}}} ainsi :
    D(x)=7−4e−4x−3+kD\left(x\right)=\frac{7}{{\color{red}{{\color{red}{-4}}}}} e^{{\color{red}{-4}}x-{\color{blue}{3}}} +k
    D(x)=−74e−4x−3+kD\left(x\right)=-\frac{7}{{\color{red}{{\color{red}{4}}}}} e^{{\color{red}{-4}}x-{\color{blue}{3}}} +k
    où kk est une constante réelle.