Une question issue du sujet Polynésie 17 Juin 2026 - Exercice 1

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Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Question 1

Soit ff une fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R}, solution de l'équation différentielle : y′=−y+1y'=-y+1 sur R\mathbb{R}.
Affirmation : La fonction gg définie pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} par g(x)=f(x)−1g(x)=f(x)-1 vérifie g′=−gg'=-g.

Correction
La fonction gg est dérivable sur R\mathbb{R} comme différence de fonctions dérivables, et pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} : g′(x)=f′(x)g'(x)=f'(x).
Or ff est solution de l'équation différentielle y′=−y+1y'=-y+1, donc pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} : f′(x)=−f(x)+1f'(x)=-f(x)+1.
Il vient alors que :
g′(x)=−f(x)+1g'(x)=-f(x)+1
g′(x)=−(f(x)−1)g'(x)=-\left(f(x)-1\right)
g′(x)=−g(x)g'(x)=-g(x)
L'affirmation est vraie : g′=−gg'=-g.

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