Une question issue du sujet Centres Étrangers 10 Juin 2026 - Exercice 1

10 min
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Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Question 1

On considère l'équation différentielle suivante où yy est une fonction de la variable réelle xx définie et dérivable sur R\mathbb{R} :
(E)  :  y′+y=2cos⁡(x)\left(E\right)\;:\;y'+y=2\cos(x)
Affirmation : La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4e−x+cos⁡(x)+sin⁡(x)f(x)=4\mathrm{e}^{-x}+\cos(x)+\sin(x) est solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right).

Correction
  • Une fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} est solution de (E)\left(E\right) si et seulement si, pour tout réel xx : f′(x)+f(x)=2cos⁡(x)f'(x)+f(x)=2\cos(x).
  • (eu)′=u′ eu\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\,\mathrm{e}^{u} ; (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x) ; (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin(x)\right)'=\cos(x).
La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables.
Calcul de f′(x) :\red{\text{Calcul de } f'(x) \text{ :}}
f′(x)=4×(−1)e−x−sin⁡(x)+cos⁡(x)f'(x)=4\times\left(-1\right)\mathrm{e}^{-x}-\sin(x)+\cos(x)
f′(x)=−4e−x−sin⁡(x)+cos⁡(x)f'(x)=-4\mathrm{e}^{-x}-\sin(x)+\cos(x)
Calcul de f′(x)+f(x) :\red{\text{Calcul de } f'(x)+f(x) \text{ :}}
f′(x)+f(x)=−4e−x−sin⁡(x)+cos⁡(x)+4e−x+cos⁡(x)+sin⁡(x)f'(x)+f(x)=\blue{-4\mathrm{e}^{-x}}\green{-\sin(x)}+\cos(x)\blue{+4\mathrm{e}^{-x}}+\cos(x)\green{+\sin(x)}
f′(x)+f(x)=2cos⁡(x)f'(x)+f(x)=2\cos(x)
Pour tout réel xx : f′(x)+f(x)=2cos⁡(x)f'(x)+f(x)=2\cos(x).
L'affirmation est vraie : ff est solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right).

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