Sujet Type bac : Mise à jour d'un sujet donné en 2005 - Les équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

Démontrer que $f\left(x\right)=\frac{3}{1+2e^{-\frac{x}{4} } }$ .

Correction

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par :

f\left(x\right)=\frac{3e^{\frac{x}{4} } }{2+e^{\frac{x}{4} } }

Nous allons factoriser le numérateur et le dénominateur par

e^{\frac{x}{4} }

Pour tout réel

x

, on a :

f\left(x\right)=\frac{e^{\frac{x}{4} } \times 3}{e^{\frac{x}{4} } \times \left(\frac{2+e^{\frac{x}{4} } }{e^{\frac{x}{4} } } \right)}

f\left(x\right)=\frac{e^{\frac{x}{4} } \times 3}{e^{\frac{x}{4} } \times \left(\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +\frac{e^{\frac{x}{4} } }{e^{\frac{x}{4} } } \right)}

f\left(x\right)=\frac{e^{\frac{x}{4} } \times 3}{e^{\frac{x}{4} } \times \left(\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +1\right)}

f\left(x\right)=\frac{\red{\cancel{e^{\frac{x}{4} }} }\times 3}{\red{\cancel{e^{\frac{x}{4} }}} \times \left(\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +1\right)}

f\left(x\right)=\frac{3}{\frac{2}{e^{\frac{x}{4} } } +1}

$e^{-a} =\frac{1}{e^{a} }$

Ainsi :

f\left(x\right)=\frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}

Question 2

Etudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction

\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}

Dans un premier temps, nous allons calculer

\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-\frac{x}{4}}

.

\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}

On commence par calculer

\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } -\frac{x}{4}={\color{blue}-\infty}

.
On pose

X=-\frac{x}{4}

. Lorsque

x

tend vers

{\color{red}+\infty}

alors

X

tend vers

{\color{blue}-\infty}

.
Ainsi :

\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty} } 2e^{X} ={\color{green}0}

.
Par composition :

\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } 2e^{-\frac{x}{4}} ={\color{green}0}

Il en résulte donc que :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-\frac{x}{4} } +1 } & {=} & {1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}

\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=3

Si

\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l

où

l

est une valeur finie alors la fonction

f

admet une asymptote horizontale d'équation

y=l

La courbe

\mathscr{C_f}

admet au voisinage de

+\infty

une asymptote horizontale d'équation

y=3

.

Question 3

Etudier la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction

\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}

Dans un premier temps, nous allons calculer

\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{-\frac{x}{4}}

.

\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}

On commence par calculer

\lim\limits_{x\to \color{red}-\infty } -\frac{x}{4}={\color{blue}+\infty}

.
On pose

X=-\frac{x}{4}

. Lorsque

x

tend vers

{\color{red}-\infty}

alors

X

tend vers

{\color{blue}+\infty}

.
Ainsi :

\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty} } 2e^{X} ={\color{green}+\infty}

.
Par composition :

\lim\limits_{x\to \color{red}-\infty } 2e^{-\frac{x}{4}} ={\color{green}+\infty}

Il en résulte donc que :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{-\frac{x}{4} } +1 } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}

\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=0

Si

\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l

où

l

est une valeur finie alors la fonction

f

admet une asymptote horizontale d'équation

y=l

La courbe

\mathscr{C_f}

admet au voisinage de

-\infty

une asymptote horizontale d'équation

y=0

.

Question 4

Etudier les variations de la fonction $f$ .

Correction

D'après la question

1

, soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par :

f\left(x\right)=\frac{3}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}

que l'on peut écrire

f\left(x\right)=3\times\frac{1}{2e^{-\frac{x}{4} } +1}

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

.
On reconnait la forme :

\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}

On considère une fonction

v

dérivable sur un intervalle

I

alors

\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }

On reconnaît la forme

\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }

avec

v\left(x\right)=2e^{-\frac{x}{4} } +1

Ainsi :

v'\left(x\right)=2\times\left(-\frac{1}{4}\right)e^{-\frac{x}{4} }

.
Il vient alors que :

f'\left(x\right)=3\times \frac{-\left(2\times \left(-\frac{1}{4} \right)e^{-\frac{x}{4} } \right)}{\left(1+2e^{-\frac{x}{4} } \right)^{2} }

Finalement :

f'\left(x\right)=\frac{3}{2} \times \frac{e^{-\frac{x}{4} } }{\left(1+2e^{-\frac{x}{4} } \right)^{2} }

Pour tout réel

x

, on peut affirmer que

e^{-\frac{x}{4} }>0

et que

\left(1+2e^{-\frac{x}{4} } \right)^{2}>0

.
Il en résulte donc que, pour tout réel

x

,

f'\left(x\right)>0

et de ce fait la fonction

f

est strictement croissante sur

\mathbb{R}

.

Question 5

Partie B
On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps

t

, est notée

g\left(t\right)

. On définit ainsi une fonction

g

de l'intervalle

\left[0;+\infty\right[

dans

\mathbb{R}

. La variable réelle

t

désigne te temps, exprimé en années. L'unité choisie pour

g\left(t\right)

est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour

g

une solution, sur l'intervalle

\left[0;+\infty\right[

, de l'équation différentielle

\left(E_1\right)

:

y'=\frac{y}{4}

Résoudre l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ .

Correction

Soit l'équation différentielle

\left(E_1\right)

:

y'=\frac{y}{4}

que l'on peut également écrire sous la forme

y'=\frac{1}{4}y

.

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=\frac{1}{4}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

g\left(t\right)=ke^{\frac{1}{4}t}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

g\left(t\right)=ke^{\frac{1}{4}t}

où

k

est une constante réelle.

Question 6

Déterminer l’expression de $g\left(t\right)$ lorsque, à la date $t = 0$ , la population comprend $100$ rongeurs, c’est-à-dire $g\left(0\right)=1$ .

Correction

D'après la question précédente, nous savons que

g\left(t\right)=ke^{\frac{1}{4}t}

où

k

est une constante réelle.
Or, d'après l'énoncé, on sait que

g\left(0\right)=1

.
Cette information va nous permettre de déterminer la valeur du réelle

k

.
Comme

g\left(0\right)=1

ce qui nous permet d'écrire que :

ke^{\frac{1}{4}\times 0}=1

équivaut successivement à :

ke^{0}=1

. Nous savons que

e^{0}=1

.

k=1

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'=\frac{1}{4}y

telle que

g\left(0\right)=1

est alors :

g\left(t\right)=e^{\frac{1}{4}t}

Question 7

Après combien d’années la population dépassera-t-elle $300$ rongeurs pour la première fois ?

Correction

Il nous faut donc résoudre l'inéquation

g\left(t\right)>3

.
Ainsi :

e^{\frac{t}{4} } \ge 3

équivaut successivement à :

\ln \left(e^{\frac{t}{4} } \right)\ge \ln \left(3\right)

\frac{t}{4} \ge \ln \left(3\right)

t\ge 4\ln \left(3\right)

Or :

t\approx 4,39

Donc la population dépassera les

300

rongeurs pour la première fois après

5

ans.

Question 8

En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs.
On note

u\left(t\right)

le nombre des rongeurs vivants au temps

t

(exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction

u

, ainsi définie, satisfait aux conditions suivantes :

\left(E_2\right):\left\{\begin{array}{ccc} {u'\left(t\right)} & {=} & {\frac{u\left(t\right)}{4} -\frac{\left(u\left(t\right)\right)^{2} }{12} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.

pour tout nombre réel

t

positif ou nul, où

u'

désigne la fonction dérivée de la fonction

u

.

On suppose que, pour tout réel positif $t$ , on a $u\left(t\right)>0$ . On considère, sur l’intervalle $\left[0;+\infty\right[$ , la fonction $h$ définie par $h =\frac{1}{u}$ .
Démontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions $\left(E_2\right)$ si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions suivantes :
$\left(E_3\right):\left\{\begin{array}{ccc} {h'\left(t\right)} & {=} & {-\frac{1}{4} h\left(t\right)+\frac{1}{12} } \\ {h\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$ .

Correction

Comme

u\left(0\right)=1

alors

h\left(0\right) =\frac{1}{u\left(0\right)}=\frac{1}{1}=1

La fonction

u

satisfait aux conditions

\left(E_2\right)

si et seulement si

\left\{\begin{array}{ccc} {u'\left(t\right)} & {=} & {\frac{u\left(t\right)}{4} -\frac{\left(u\left(t\right)\right)^{2} }{12} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.

Nous savons que

u\left(t\right)>0

ainsi

\left(u\left(t\right)\right)^{2}>0

.
Nous allons pouvoir diviser

u^2

.
On a donc :

\left\{\begin{array}{ccc} {\frac{u'\left(t\right)}{\left(u\left(t\right)\right)^{2}}} & {=} & {\frac{u\left(t\right)}{4\left(u\left(t\right)\right)^{2}} -\frac{\left(u\left(t\right)\right)^{2} }{12\left(u\left(t\right)\right)^{2}} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.

\left\{\begin{array}{ccc} {\frac{u'\left(t\right)}{\left(u\left(t\right)\right)^{2}}} & {=} & {\frac{1}{4u\left(t\right)} -\frac{1 }{12} } \\ {u\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.

Comme

h =\frac{1}{u}

alors

h' =\frac{-u'}{u^2}

.
De plus,

u\left(0\right)=1

équivaut à

h\left(0\right)=1

.
Il vient alors que :

\left\{\begin{array}{ccc} {-h'\left(t\right)} & {=} & {\frac{1}{4} h\left(t\right)-\frac{1}{12} } \\ {h\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.

Ce qui nous donne enfin :

\left\{\begin{array}{ccc} {h'\left(t\right)} & {=} & {-\frac{1}{4} h\left(t\right)+\frac{1}{12} } \\ {h\left(0\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.

pour tout nombre réel

t

positif ou nul.

Question 9

Donner les solutions de l'équation différentielle $y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12}$ et en déduire l’expression de la fonction $h$ , puis celle de la fonction $u$ .

Correction

Les solutions de l'équation différentielle

y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12}

sont les solutions de l'équation différentielle

h'\left(t\right)=-\frac{1}{4}h\left(t\right)+\frac{1}{12}

Soit l’équation différentielle

y'=ay+b

où

a

et

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

La fonction

f_0\left(x\right)=-\frac{b}{a}

est

\text{\red{appelée solution particulière constante}}

de l'équation différentielle.

On identifie ici que :

a=-\frac{1}{4}

et

b=\frac{1}{12}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

h\left(t\right)=ke^{-\frac{1}{4}t} -\frac{\frac{1}{12}}{\left(-\frac{1}{4}\right)}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

h\left(t\right)=ke^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}

où

k

est une constante réelle.
De plus,

h\left(0\right)=1

Il vient alors que :

ke^{-\frac{1}{4}\times 0} +\frac{1}{3}=1

k\times e^{0} +\frac{1}{3} =1

k+\frac{1}{3} =1

k=1-\frac{1}{3}

k=\frac{2}{3}

D'où :

h\left(t\right)=\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}

D'après les hypothèses nous savons que

h =\frac{1}{u}

ce qui permet d'écrire que

u =\frac{1}{h}

Ainsi :

u\left(t\right)=\frac{1}{\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}}

Question 10

Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ?

Correction

Pour cette question, il nous faut calculer

\lim\limits_{t\to +\infty } u\left(t\right) =\lim\limits_{t\to +\infty } \frac{1}{\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3}}

D'après la question

2

, nous savons que

\lim\limits_{t\to +\infty } e^{-\frac{t}{4}}=0

Ainsi :

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{t\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{t\to +\infty } \frac{2}{3}e^{-\frac{1}{4}t} +\frac{1}{3} } & {=} & {\frac{1}{3} } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient :}}}

\lim\limits_{t\to +\infty } u\left(t\right)=3

La taille de la population de rongeurs tend vers

300

.

Sujet Type bac : Mise à jour d'un sujet donné en 2005 - Exercice 1

Démontrer que f(x)=31+2e−x4f\left(x\right)=\frac{3}{1+2e^{-\frac{x}{4} } } f(x)=1+2e−4x​3​ .

Etudier la limite de la fonction fff en +∞+\infty+∞ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Etudier la limite de la fonction fff en −∞-\infty−∞ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Etudier les variations de la fonction fff.

Résoudre l'équation différentielle (E1)\left(E_1\right)(E1​) .

Déterminer l’expression de g(t)g\left(t\right)g(t) lorsque, à la date t=0t = 0t=0, la population comprend 100100100 rongeurs, c’est-à-dire g(0)=1g\left(0\right)=1g(0)=1 .

Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300300300 rongeurs pour la première fois ?

Donner les solutions de l'équation différentielle y′=−14y+112y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12}y′=−41​y+121​ et en déduire l’expression de la fonction hhh, puis celle de la fonction uuu.

Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque ttt tend vers +∞+\infty+∞ ?

Démontrer que $f\left(x\right)=\frac{3}{1+2e^{-\frac{x}{4} } }$ .

Etudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Etudier la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Etudier les variations de la fonction $f$ .

Résoudre l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ .

Déterminer l’expression de $g\left(t\right)$ lorsque, à la date $t = 0$ , la population comprend $100$ rongeurs, c’est-à-dire $g\left(0\right)=1$ .

Après combien d’années la population dépassera-t-elle $300$ rongeurs pour la première fois ?

Donner les solutions de l'équation différentielle $y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12}$ et en déduire l’expression de la fonction $h$ , puis celle de la fonction $u$ .

Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ?