Les équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+fy'=ay+f - Exercice 5

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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y′=−6y+30x−7y'=-6y+30x-7 .
Question 1

On note hh une fonction affine qui est une solution particulière de (E)\left(E\right) . Déterminer l'expression de hh.

Correction
Nous savons que hh une fonction affine qui est une solution particulière de (E)\left(E\right) . On pose alors h(x)=ax+bh\left(x\right)=ax+b où aa et bb sont des réels.
hh est dérivable sur R\mathbb{R} et on a : h′(x)=ah'\left(x\right)=a .
Comme hh est une solution de l'équation (E)\left(E\right), on a alors :
h′(x)=−6h(x)+30x−7h'\left(x\right)=-6h\left(x\right)+30x-7
a=−6(ax+b)+30x−7a=-6\left(ax+b\right)+30x-7
a=−6ax−6b+30x−7a=-6ax-6b+30x-7
a+6ax+6b−30x+7=0a+6ax+6b-30x+7=0
(6a−30)x+a+6b+7=0\left(6a-30\right)x+a+6b+7=0
L'expression (6a−30)x+a+6b+7\left(6a-30\right)x+a+6b+7 est égale à 0 si et seulement si\red{\text{si et seulement si}} 6a−30=06a-30=0 et\red{\text{et}} a+6b+7=0a+6b+7=0 .
Nous traduisons cela à l'aide d'un système que nous allons résoudre :
{6a−30=0a+6b+7=0\left\{\begin{array}{ccc} {6a-30} & {=} & {0} \\ {a+6b+7} & {=} & {0} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{6a=30a+6b+7=0\left\{\begin{array}{ccc} {6a} & {=} & {30} \\ {a+6b+7} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=306a+6b+7=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{30}{6} } \\ {a+6b+7} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=5a+6b+7=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {5} \\ {a+6b+7} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=55+6b+7=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {5} \\ {5+6b+7} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=56b+12=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {5} \\ {6b+12} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a=56b=−12\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {5} \\ {6b} & {=} & {-12} \end{array}\right.
{a=5b=−126\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {5} \\ {b} & {=} & {\frac{-12}{6} } \end{array}\right.
{a=5b=−2\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {5} \\ {b} & {=} & {-2} \end{array}\right.
Il en résulte donc que la fonction h(x)=5x−2h\left(x\right)=5x-2 est une solution particulière de (E)\left(E\right) .
Question 2

Résoudre alors l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+fy'=\red{a}y+\purple{f} où aa est un réel avec a≠0a\ne 0 et f\purple{f} une fonction définie sur un intervalle II .
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : m(x)=keax+z(x)m\left(x\right)=ke^{\red{a}x}+z\left(x\right) où kk est une constante réelle et z(x)z\left(x\right) une solution particulière de l'équation y′=ay+fy'=ay+f .
    • Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y′=−6y+30x−7y'=-6y+30x-7. Suite au rappel, ci dessous, nous écrivons : y′=−6y+30x−7y'=\red{-6}y+\purple{30x-7}
    A l'aide de la question 11, nos avons obtenu une solution particulière de l'équation (E)\left(E\right) . Il ne nous reste plus qu'à déterminer les solution de l'équation y′=−6yy'=\red{-6}y qui ne sont autre que les fonctions x↦ke−6xx\mapsto ke^{\red{-6}x} où k∈Rk\in \mathbb{R} .
    Finalement, les solutions de l'équation (E)\left(E\right) sont donc les fonctions définies sur R\mathbb{R} par m(x)=ke−6x+h(x)m\left(x\right)=ke^{\red{-6}x}+h\left(x\right) c'est à dire m(x)=ke−6x+5x−2m\left(x\right)=ke^{\red{-6}x}+5x-2 où k∈Rk\in \mathbb{R}