Soit l’équation différentielle
y′=ay+f où
a est un réel avec
a=0 et
f une fonction définie sur un intervalle
I .
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : m(x)=keax+z(x) où k est une constante réelle et z(x) une solution particulière de l'équation y′=ay+f . L'équation différentielle s'écrit :
y′=−1y+e−x . On identifie ici que :
a=−1 et
f(x)=e−x .
D'après la question
1, nous avons démontré que la fonction
g est
une solution particulieˋre de l'équation différentielle
(E).
Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle
(E) sont alors :
m(x)=ke−x+g(x) où
k est une constante réelle.
Finalement, les solutions de l'équation
(E) sont donc les fonctions définies sur
R par
m(x)=ke−x+(x+1)e−x où
k est une constante réelle.