Les équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y=ay+fy'=ay+f - Exercice 2

5 min
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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y=20y+40y'=20y+40 .
Question 1

Déterminer la solution particulière constante de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
Notons f0(x)f_{0} \left(x\right) la solution constante\text{\red{la solution constante}} de l'équation différentielle (E)\left(E\right) c'est que f0(x)=Mf_{0} \left(x\right)=MMRM \in \mathbb{R} .
De plus, il est évident que f0(x)=0f'_{0} \left(x\right)=0.
Comme f0f_{0} est la solution la solution constante de l'équation différentielle (E)\left(E\right), on peut donc écrire que :
f0(x)=20f0(x)+40f'_{0} \left(x\right)=20f_{0} \left(x\right)+40
0=20f0(x)+400=20f_{0} \left(x\right)+40
20f0(x)+40=020f_{0} \left(x\right)+40=0
20f0(x)=4020f_{0} \left(x\right)=-40
f0(x)=4020f_{0} \left(x\right)=\frac{-40}{20}
Ainsi :
f0(x)=2f_{0} \left(x\right)=-2

Finalement, la solution particulière constante de l'équation différentielle (E)\left(E\right) est alors f0(x)=2f_{0} \left(x\right)=-2 .
Question 2

En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
Soit l’équation différentielle y=ay+fy'=\red{a}y+\purple{f}aa est un réel avec a0a\ne 0 et f\purple{f} une fonction définie sur un intervalle II .
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : m(x)=keax+z(x)m\left(x\right)=ke^{\red{a}x}+z\left(x\right) kk est une constante réelle et z(x)z\left(x\right) une solution particulière de l'équation y=ay+fy'=ay+f .
  • L'équation différentielle s'écrit : y=20y+40y'=\red{20}y+\purple{40} . On identifie ici que : a=20\red{a=20} et f(x)=40\purple{f\left(x\right)=40} .
    D'après la question 11, nous avons démontré que la fonction f0f_{0} est une solution particulieˋre\text{\red{une solution particulière}} de l'équation différentielle (E)\left(E\right).
    Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) sont alors : m(x)=ke20x+f0(x)m\left(x\right)=ke^{\red{20}x}+f_{0}\left(x\right)kk est une constante réelle.
    Finalement, les solutions de l'équation (E)\left(E\right) sont donc les fonctions définies sur R\mathbb{R} par
    m(x)=ke20x2m\left(x\right)=ke^{20x}-2
    kk est une constante réelle.