Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay+f$$ - Exercice 1

La fonction $$g$$ est une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ si et seulement si :
$$g'\left(x\right)=2g\left(x\right)+6x+10$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$g'\left(x\right)={\color{blue}{-3}}$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$2g\left(x\right)+6x+10=2\times \left(-3x-\frac{13}{2}\right)+6x+10$$
$$2g\left(x\right)+6x+10=2\times \left(-3x\right)+2\times \left(\frac{-13}{2} \right)+6x+10$$
$$2g\left(x\right)+6x+10=-6x-13+6x+10$$
$$2g\left(x\right)+6x+10={\color{blue}{-3}}$$
$$\text{\red{Il en résulte donc que :}}$$ $$g'\left(x\right)=2g\left(x\right)+6x+10$$
Nous venons donc de montrer que la fonction $$g$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$g\left(x\right)=-3x-\frac{13}{2}$$ est bien une solution de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ .

L'équation différentielle s'écrit : $$y'=\red{2}y+\purple{6x+10}$$ . On identifie ici que : $$\red{a=2}$$ et $$\purple{f\left(x\right)=6x+10}$$ .
D'après la question $$1$$, nous avons démontré que la fonction $$g$$ est $$\text{\red{une solution particulière}}$$ de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ sont alors : $$m\left(x\right)=ke^{\red{2}x}+g\left(x\right)$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement, les solutions de l'équation $$\left(E\right)$$ sont donc les fonctions définies sur $$\mathbb{R}$$ par où $$k$$ est une constante réelle.