Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Les équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=9y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=9

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{9x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{9x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :\frac{2}{7}y'+3y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

\frac{2}{7}y'+3y=0

équivaut successivement à :

\frac{2}{7} y'=-3y

y'=\frac{-3y}{\left(\frac{2}{7} \right)}

y'=\left(-3y\right)\times \left(\frac{7}{2} \right)

y'=-\frac{21}{2} y

On identifie ici que :

a=-\frac{21}{2}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{21}{2}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{21}{2}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-11y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-11

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-11x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-11x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-8y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-8

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-8x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-8x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 2

On considère l’équation différentielle (E):y′=9y\left(E\right) :y'=9y(E):y′=9y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):27y′+3y=0\left(E\right) :\frac{2}{7}y'+3y=0(E):72​y′+3y=0 où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):y′=−11y\left(E\right) :y'=-11y(E):y′=−11y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):y′=−8y\left(E\right) :y'=-8y(E):y′=−8y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 2

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=9y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :\frac{2}{7}y'+3y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-11y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-8y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .