Les équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ay avec une condition - Exercice 2

6 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−11yy'=-11y tel que f(2)=−5f\left(2\right)=-5

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−11a=-11 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−11xf\left(x\right)=ke^{-11x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(2)=−5f\left(2\right)=-5 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke−11×2=−5ke^{-11\times 2}=-5 équivaut successivement à :
    ke−22=−5ke^{-22}=-5
    k=−5e−22k=\frac{-5}{e^{-22}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=−5e22k=-5e^{22}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=−11yy'=-11y tel que f(2)=−5f\left(2\right)=-5 est alors :
    f(x)=−5e22×e−11xf\left(x\right)=-5e^{22}\times e^{-11x}
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    Ainsi :
    f(x)=−5e−11x+22f\left(x\right)=-5e^{-11x+22}
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−7yy'=-7y tel que f(0)=6f\left(0\right)=6

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−7a=-7 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−7xf\left(x\right)=ke^{-7x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(0)=6f\left(0\right)=6 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke−7×0=6ke^{-7\times 0}=6 équivaut successivement à :
    ke0=6ke^{0}=6 . Nous savons que e0=1e^{0}=1 .
    k=6k=6
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=−7yy'=-7y tel que f(0)=6f\left(0\right)=6 est alors :
    f(x)=6e−7xf\left(x\right)=6e^{-7x}

    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=12yy'=12y tel que f(2)=−2f\left(2\right)=-2

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=12a=12 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke12xf\left(x\right)=ke^{12x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(2)=−2f\left(2\right)=-2 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke12×2=−2ke^{12\times 2}=-2 équivaut successivement à :
    ke24=−2ke^{24}=-2
    k=−2e24k=\frac{-2}{e^{24}}
    k=−2×1e24k=-2\times{\frac{1}{e^{24}}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=−2e−24k=-2e^{-24}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=12yy'=12y tel que f(2)=−2f\left(2\right)=-2 est alors :
    f(x)=−2e−24×e12xf\left(x\right)=-2e^{-24}\times e^{12x}
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    Ainsi :
    f(x)=−2e12x−24f\left(x\right)=-2e^{12x-24}