Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay$$ avec une condition - Exercice 1

On identifie ici que : $$a=2$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{2x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(0\right)=8$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{2\times 0}=8$$ équivaut successivement à :
$$ke^{0}=8$$ . Nous savons que $$e^{0}=1$$ .
$$k=8$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=2y$$ tel que $$f\left(0\right)=8$$ est alors :

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme $$y'=ay$$. Ainsi :
$$7y'+8y=0$$ équivaut successivement à :
$$7y'=-8y$$
$$y'=\frac{-8}{7}y$$
$$y'=-\frac{8}{7}y$$
On identifie ici que : $$a=-\frac{8}{7}$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-\frac{8}{7}x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(0\right)=-6$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{-\frac{8}{7}\times 0}=-6$$ équivaut successivement à :
$$ke^{0}=-6$$ . Nous savons que $$e^{0}=1$$ .
$$k=-6$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$7y'+8y=0$$ tel que $$f\left(0\right)=-6$$ est alors :

On identifie ici que : $$a=5$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{5x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(2\right)=1$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{5\times 2}=1$$ équivaut successivement à :
$$ke^{10}=1$$
$$k=\frac{1}{e^{10}}$$
D'où : $$k=e^{-10}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=5y$$ tel que $$f\left(2\right)=1$$ est alors :
$$f\left(x\right)=e^{-10}\times e^{5x}$$
Ainsi :

On identifie ici que : $$a=-9$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-9x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(4\right)=-7$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{-9\times 4}=-7$$ équivaut successivement à :
$$ke^{-36}=-7$$
$$k=\frac{-7}{e^{-36}}$$
D'où : $$k=-7e^{36}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=-9y$$ tel que $$f\left(4\right)=-7$$ est alors :
$$f\left(x\right)=-7e^{36}\times e^{-9x}$$
Ainsi :

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme $$y'=ay$$. Ainsi :
$$3y'-2y=0$$ équivaut successivement à :
$$3y'=2y$$
$$y'=\frac{2}{3}y$$
On identifie ici que : $$a=\frac{2}{3}$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{\frac{2}{3}x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Or : $$f\left(1\right)=e^{\frac{4}{3}}$$ ce qui nous permet d'écrire que :
$$ke^{\frac{2}{3}\times 1}=e^{\frac{4}{3}}$$ équivaut successivement à :
$$ke^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{4}{3}}$$
$$k=\frac{e^{\frac{4}{3} } }{e^{\frac{2}{3} } }$$
$$k=e^{\frac{4}{3} -\frac{2}{3} }$$
$$k=e^{\frac{2}{3} }$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$3y'-2y=0$$ tel que $$f\left(1\right)=e^{\frac{4}{3}}$$est alors :
Nous pouvons simplifier l'expression de $$f$$ à l'aide des propriétés algébriques de la fonction exponentielle. En effet :

D'où :